民國115年 高考三級 工業行政 統計學
第2題
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ…
題目
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ= 0.05下檢定： ܪ: ߤଵ≤ߤଶ+ 1 ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1 選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案， 而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 請對上述假說進行檢定。（15 分） 選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧ （i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異 量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。 （15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、本題為單尾檢定，虛無假設 H0: μ1≤μ2+1，對立假設 H1: μ1>μ2+1，其中 μ1、μ2 分別為 AI(X) 與 AI(Y) 的平均計算時間。獨立樣本下檢定統計量為 t=(x̄-ȳ-1)/sqrt(sx²/nx+sy²/ny)；若兩母體變異數相等，先計算合併變異數 s_p²=[(nx-1)sx²+(ny-1)sy²]/(nx+ny-2)。
- 二、獨立樣本 t 檢定（two-sample t-test）部分，s_p²=(7×8+7×8)/14=8，標準誤為 sqrt[8(1/8+1/8)]=sqrt2≒1.414，故 t=(12-9-1)/1.414≒1.414。自由度為14，單尾5%臨界值 t_0.05,14=1.761，p值約0.089；因1.414<1.761，不拒絕H0，尚無充分證據顯示 μ1>μ2+1。
- 三、配對設計令 d_i=x_i-y_i，則 d̄=x̄-ȳ=3。由於同一題由兩工具作答，兩組時間相關，差值變異數為 Var(d)=Var(x)+Var(y)-2r sx sy=8+8-2×0.5×8=8，故 s_d²=8，標準誤 s_d/√8=1。
- 四、配對 t 檢定（paired t-test）統計量 t=(d̄-1)/(s_d/√n)=(3-1)/1=2。自由度為7，單尾5%臨界值 t_0.05,7=1.895；因2>1.895，拒絕H0，結論為在5%顯著水準下，有充分證據顯示 AI(X) 平均計算時間超過 AI(Y) 達1單位以上。
- 五、兩種設計結論不同，關鍵在配對可消除題目難度造成的共同變異，使標準誤由1.414降為1，檢定力提高。使用時須符合常態、獨立及差值同質變異假設，並注意「計算時間越長越慢」的方向應與單尾對立假設一致。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。