民國115年 高考三級 工業行政 統計學考古題
民國115年 高考三級 工業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配，
（每小題10 分，共30 分）
根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那
個整數？（參考附表卜瓦松分配）
採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 X 為某月工安意外次數，依題意 X 服從平均數 μ 的卜瓦松分配（Poisson distribution），其機率函數為 P(X=k)=e^-μ μ^k/k!，k=0,1,2,…；累積機率為 P(X≤5)=Σ_{k=0}^5 e^-μ μ^k/k!。題意「92%左右的月份不超過5次」，即尋找使此累積機率接近0.92的整數 μ。
- 二、以 μ=3 代入，P(X≤5)=e^-3(1+3+4.5+4.5+3.375+2.025)=0.049787×18.4≒0.9161，約91.6%，與92%最接近；μ=2時約98.3%、μ=4時約78.5%，偏離較大。故 μ 接近的整數為3，可作為後續估計與計算的依據。
- 三、以最大概似估計（maximum likelihood estimate, MLE）得 μ̂=3，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^-3。若各月相互獨立，連2個月零工安的機率為 p×p=e^-6≒0.00248，約0.25%；此即兩獨立卜瓦松事件同時為零的聯合機率。
- 四、3個月內零工安月數 Y 服從二項分配 Bin(3,p)，其中 p=e^-3。至少2個月零工安包含恰好2個月及3個月，機率為 C(3,2)p²(1-p)+p³=3e^-6(1-e^-3)+e^-9=3e^-6-2e^-9≒0.00719，約0.72%。
- 五、上述計算建立在每月獨立、μ固定不變且無過度離散（overdispersion）的假設。實務上若意外有季節性、群聚或設備改善，μ可能變動，應改採負二項分配或廣義線性模型，並對 μ̂ 附上信賴區間以呈現估計不確定性。
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、
ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著
水準ߙ= 0.05下檢定：
ܪ: ߤଵ≤ߤଶ+ 1
ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1
選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案，
而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為：
ݔ‾ = 12,
ݏ௫ଶ= 8
ݕ‾ = 9,
ݏ௬ଶ= 8
請對上述假說進行檢定。（15 分）
選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧
（i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異
量為：
ݔ‾ = 12,
ݏ௫ଶ= 8
ݕ‾ = 9,
ݏ௬ଶ= 8
且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。
（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、本題為單尾檢定，虛無假設 H0: μ1≤μ2+1，對立假設 H1: μ1>μ2+1，其中 μ1、μ2 分別為 AI(X) 與 AI(Y) 的平均計算時間。獨立樣本下檢定統計量為 t=(x̄-ȳ-1)/sqrt(sx²/nx+sy²/ny)；若兩母體變異數相等，先計算合併變異數 s_p²=[(nx-1)sx²+(ny-1)sy²]/(nx+ny-2)。
- 二、獨立樣本 t 檢定（two-sample t-test）部分，s_p²=(7×8+7×8)/14=8，標準誤為 sqrt[8(1/8+1/8)]=sqrt2≒1.414，故 t=(12-9-1)/1.414≒1.414。自由度為14，單尾5%臨界值 t_0.05,14=1.761，p值約0.089；因1.414<1.761，不拒絕H0，尚無充分證據顯示 μ1>μ2+1。
- 三、配對設計令 d_i=x_i-y_i，則 d̄=x̄-ȳ=3。由於同一題由兩工具作答，兩組時間相關，差值變異數為 Var(d)=Var(x)+Var(y)-2r sx sy=8+8-2×0.5×8=8，故 s_d²=8，標準誤 s_d/√8=1。
- 四、配對 t 檢定（paired t-test）統計量 t=(d̄-1)/(s_d/√n)=(3-1)/1=2。自由度為7，單尾5%臨界值 t_0.05,7=1.895；因2>1.895，拒絕H0，結論為在5%顯著水準下，有充分證據顯示 AI(X) 平均計算時間超過 AI(Y) 達1單位以上。
- 五、兩種設計結論不同，關鍵在配對可消除題目難度造成的共同變異，使標準誤由1.414降為1，檢定力提高。使用時須符合常態、獨立及差值同質變異假設，並注意「計算時間越長越慢」的方向應與單尾對立假設一致。
根據機場通關檢驗之經驗，行李箱有攜帶肉類違禁品的機率是千分之
0.5。程序上，先由檢疫犬憑嗅覺判別，嗅出可能是有違禁肉品才詳細開
箱檢查。已知檢疫犬嗅覺「將正常行李箱誤判為有違禁肉品」的機率是
1/10；另外，「把有違禁肉品者誤判為正常行李箱」的機率是10-5。
今甲的某件行李被檢疫犬嗅出認為有肉類違禁品，請問他實際上真的有
肉類違禁品的機率大約是多少？（答案小數點以下3 位即可）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設 D 為「行李實際有肉類違禁品」，T+ 為「檢疫犬嗅出有違禁品」。依題意，盛行率 P(D)=0.0005，敏感度 P(T+|D)=1-10^-5=0.99999，偽陽性率 P(T+|D^c)=1/10=0.1；此三項為貝氏定理所需的先驗與檢定特性。
- 二、所求為陽性預測值（positive predictive value, PPV），即 P(D|T+)。依貝氏定理，P(D|T+)=P(T+|D)P(D)/[P(T+|D)P(D)+P(T+|D^c)P(D^c)]，分母即所有檢疫犬判為陽性的機率。
- 三、分子=0.99999×0.0005=0.000499995；分母=0.000499995+0.1×0.9995=0.000499995+0.09995=0.100449995；相除得0.004977…，取小數點以下三位為0.005。
- 四、因此，被檢疫犬嗅出有違禁品時，實際有違禁品的機率僅約0.5%，遠低於一般直覺。這是低盛行率下的基底率謬誤（base-rate fallacy）：即使偽陽性率只有10%，因正常行李數量龐大，偽陽性仍主導陽性結果。
- 五、政策上不宜僅憑初篩即認定違規，應以開箱複驗、X光或第二隻檢疫犬確認；同時應公布盛行率、敏感度與偽陽性率，避免將「陽性」誤解為「幾乎確定有違禁品」，並降低不必要的旅客困擾。
某地方政府推動「青年創業補助政策」，為了解補助資源分配情形，研究
人員隨機抽取27 位申請者，記錄其申請補助金額（單位：千元）如下：
322 339 340 343 356 364 391 417 476
261 269 271 274 279 280 283 283 286
287 292 293 296 300 304 305 313 321
求整體申請者補助金額的第25 百分位數（25th percentile）ߨ.ଶହ的點估
計值。（10 分）
求申請者補助金額的IQR（Inter-Quartitle Range，四分位距）。（10 分）
附表1 卜瓦松分布累積機率表
附表2
常態分配表
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0
.0000
.0040
.0080
.0120
.0160
.0199
.0239
.0279
.0319
.0359
0.1
.0398
.0438
.0478
.0517
.0557
.0596
.0636
.0675
.0714
.0753
0.2
.0793
.0832
.0871
.0910
.0948
.0987
.1026
.1064
.1103
.1141
0.3
.1179
.1217
.1255
.1293
.1331
.1368
.1406
.1443
.1480
.1517
0.4
.1554
.1591
.1628
.1664
.1700
.1736
.1772
.1808
.1844
.1879
0.5
.1915
.1950
.1985
.2019
.2054
.2088
.2123
.2157
.2190
.2224
0.6
.2257
.2291
.2324
.2357
.2389
.2422
.2454
.2486
.2517
.2549
0.7
.2580
.2611
.2642
.2673
.2704
.2734
.2764
.2794
.2823
.2852
0.8
.2881
.2910
.2939
.2967
.2995
.3023
.3051
.3078
.3106
.3133
0.9
.3159
.3186
.3212
.3238
.3264
.3289
.3315
.3340
.3365
.3389
1.0
.3413
.3438
.3461
.3485
.3508
.3531
.3554
.3577
.3599
.3621
1.1
.3643
.3665
.3686
.3708
.3729
.3749
.3770
.3790
.3810
.3830
1.2
.3849
.3869
.3888
.3907
.3925
.3944
.3962
.3980
.3997
.4015
1.3
.4032
.4049
.4066
.4082
.4099
.4115
.4131
.4147
.4162
.4177
1.4
.4192
.4207
.4222
.4236
.4251
.4265
.4279
.4292
.4306
.4319
1.5
.4332
.4345
.4357
.4370
.4382
.4394
.4406
.4418
.4429
.4441
1.6
.4452
.4463
.4474
.4484
.4495
.4505
.4515
.4525
.4535
.4545
1.7
.4554
.4564
.4573
.4582
.4591
.4599
.4608
.4616
.4625
.4633
1.8
.4641
.4649
.4656
.4664
.4671
.4678
.4686
.4693
.4699
.4706
1.9
.4713
.4719
.4726
.4732
.4738
.4744
.4750
.4756
.4761
.4767
2.0
.4772
.4778
.4783
.4788
.4793
.4798
.4803
.4808
.4812
.4817
2.1
.4821
.4826
.4830
.4834
.4838
.4842
.4846
.4850
.4854
.4857
2.2
.4861
.4864
.4868
.4871
.4875
.4878
.4881
.4884
.4887
.4890
2.3
.4893
.4896
.4898
.4901
.4904
.4906
.4909
.4911
.4913
.4916
2.4
.4918
.4920
.4922
.4925
.4927
.4929
.4931
.4932
.4934
.4936
2.5
.4938
.4940
.4941
.4943
.4945
.4946
.4948
.4949
.4951
.4952
2.6
.4953
.4955
.4956
.4957
.4959
.4960
.4961
.4962
.4963
.4964
2.7
.4965
.4966
.4967
.4968
.4969
.4970
.4971
.4972
.4973
.4974
2.8
.4974
.4975
.4976
.4977
.4977
.4978
.4979
.4979
.4980
.4981
2.9
.4981
.4982
.4982
.4983
.4984
.4984
.4985
.4985
.4986
.4986
3.0
.4987
.4987
.4987
.4988
.4988
.4989
.4989
.4989
.4990
.4990
3.1
.4990
.4991
.4991
.4991
.4992
.4992
.4992
.4992
.4993
.4993
3.2
.4993
.4993
.4994
.4994
.4994
.4994
.4994
.4995
.4995
.4995
3.3
.4995
.4995
.4995
.4996
.4996
.4996
.4996
.4996
.4996
.4997
3.4
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4998
3.5
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、先將27筆補助金額由小到大排序：261、269、271、274、279、280、283、283、286、287、292、293、296、300、304、305、313、321、322、339、340、343、356、364、391、417、476（單位：千元）。
- 二、採位置法，第 p 百分位數的位置定為 (n+1)p。n=27 時，第25百分位數位置=(27+1)×0.25=7，剛好為整數，取排序後第7個觀測值，故 Q1=283千元，即 π̂_0.25=283。
- 三、第75百分位數位置=(27+1)×0.75=21，取第21個觀測值，故 Q3=340千元；中位數位置=(27+1)×0.5=14，為300千元。Q3-Q1 即為四分位距（interquartile range, IQR），可用來衡量中間50%資料的分散情形。
- 四、IQR=Q3-Q1=340-283=57千元，表示中間50%申請者的補助金額差距約57千元。IQR 不易受極端值影響，例如最大值476千元不會顯著改變 Q1、Q3，故比全距更穩健。
- 五、若軟體採線性插值（如 PERCENTILE.INC），Q3可能得339.5千元、IQR為56.5千元；本題以 (n+1)p 的整數位置法作答，點估計為 Q1=283千元、IQR=57千元，作答時宜註明百分位數的定義與取法。