民國115年 高考三級 農業行政 統計學
第1題
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請…
題目
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那 個整數？（參考附表卜瓦松分配） 採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。 求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：令 X 為某月工安意外次數，依題意，X 服從卜瓦松分配（Poisson distribution），即 P(X=k)=e^(−μ)μ^k/k!，k=0,1,2,…，且各月相互獨立。題意中「92%左右的月份不超過5次」代表累積機率 P(X≤5)=Σ(k=0到5) e^(−μ)μ^k/k! 約等於 0.92，可據此反推 μ。
- 二、以附表試算：μ=2 時 P(X≤5)=0.1353+0.2707+0.2707+0.1804+0.0902+0.0361=0.9834；μ=3 時為 0.9161；μ=4 時為 0.7851。0.9161 最接近 0.92，故 μ 接近整數 3，即每月平均約 3 次工安意外。
- 三、第2小題：以 μ̂=3 估計，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^(−3)=0.0498。由於各月相互獨立，連 2 個月零工安機率為 p²=(e^(−3))²=e^(−6)≈0.00248，約為千分之 2.5。
- 四、第3小題：令 Y 為 3 個月中零工安的月數，Y 服從二項分配 Binomial(3,p)，其中 p=e^(−3)。因此 P(Y≥2)=C(3,2)p²(1−p)+C(3,3)p³=3e^(−6)(1−e^(−3))+e^(−9)≈3(0.002479)(0.9502)+0.000123≈0.00719。
- 五、補充說明：上述計算是以點估計 μ̂=3 代入，並未計入估計誤差；若要更嚴謹，可先以 μ 的信賴區間或貝氏後驗分配整合不確定性，再計算機率。另可檢核：μ=3.5 時 P(X≤5) 約為 0.858，明顯偏離 92%，可佐證整數解應為 3。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。