民國115年 高考三級 農業行政 統計學考古題
民國115年 高考三級 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配，
（每小題10 分，共30 分）
根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那
個整數？（參考附表卜瓦松分配）
採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：令 X 為某月工安意外次數，依題意，X 服從卜瓦松分配（Poisson distribution），即 P(X=k)=e^(−μ)μ^k/k!，k=0,1,2,…，且各月相互獨立。題意中「92%左右的月份不超過5次」代表累積機率 P(X≤5)=Σ(k=0到5) e^(−μ)μ^k/k! 約等於 0.92，可據此反推 μ。
- 二、以附表試算：μ=2 時 P(X≤5)=0.1353+0.2707+0.2707+0.1804+0.0902+0.0361=0.9834；μ=3 時為 0.9161；μ=4 時為 0.7851。0.9161 最接近 0.92，故 μ 接近整數 3，即每月平均約 3 次工安意外。
- 三、第2小題：以 μ̂=3 估計，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^(−3)=0.0498。由於各月相互獨立，連 2 個月零工安機率為 p²=(e^(−3))²=e^(−6)≈0.00248，約為千分之 2.5。
- 四、第3小題：令 Y 為 3 個月中零工安的月數，Y 服從二項分配 Binomial(3,p)，其中 p=e^(−3)。因此 P(Y≥2)=C(3,2)p²(1−p)+C(3,3)p³=3e^(−6)(1−e^(−3))+e^(−9)≈3(0.002479)(0.9502)+0.000123≈0.00719。
- 五、補充說明：上述計算是以點估計 μ̂=3 代入，並未計入估計誤差；若要更嚴謹，可先以 μ 的信賴區間或貝氏後驗分配整合不確定性，再計算機率。另可檢核：μ=3.5 時 P(X≤5) 約為 0.858，明顯偏離 92%，可佐證整數解應為 3。
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、
ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著
水準ߙ= 0.05下檢定：
ܪ: ߤଵ≤ߤଶ+ 1
ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1
選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案，
而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為：
ݔ‾ = 12,
ݏ௫ଶ= 8
ݕ‾ = 9,
ݏ௬ଶ= 8
請對上述假說進行檢定。（15 分）
選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧
（i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異
量為：
ݔ‾ = 12,
ݏ௫ଶ= 8
ݕ‾ = 9,
ݏ௬ଶ= 8
且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。
（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定：設 μ1、μ2 分別為 AI(X) 與 AI(Y) 的平均計算時間，檢定 H0：μ1≤μ2+1 對 H1：μ1>μ2+1，等價於檢定兩者平均時間差是否顯著大於 1，採右尾檢定，α=0.05。
- 二、獨立樣本檢定：n1=n2=8，df=14。混合變異數 s_p²=[(8−1)8+(8−1)8]/14=8，標準誤 SE=√[8(1/8+1/8)]=√2=1.414。t=[(12−9)−1]/1.414=1.414。臨界值 t(0.95,14)=1.761，且 t<1.761，故不拒絕 H0，p 值約為 0.089。
- 三、配對樣本檢定：令 d_i=x_i−y_i，d̄=12−9=3。兩變數差之變異數 s_d²=s_x²+s_y²−2r·s_x·s_y=8+8−2(0.5)(√8)(√8)=8。t=(3−1)/√(8/8)=2，df=7，臨界值 t(0.95,7)=1.895，因 t>1.895，故拒絕 H0，p 值約為 0.043。
- 四、結論比較：在同一組敘述統計量下，獨立設計不顯著，配對設計顯著。原因在於配對設計扣除題目難度造成的共同變異（r=0.5），使標準誤由 1.414 降為 1，檢定力提高，顯示實驗設計對推論結果影響甚大。
- 五、注意事項：檢定假設兩母體為常態分配且變異數同質；樣本僅有 8 題，宜留意常態性假設。若不假定變異數同質，可改用 Welch t 檢定；另本題 s² 以分母 n−1 計算，若教科書定義不同，數值會略異，但結論方向一致。
根據機場通關檢驗之經驗，行李箱有攜帶肉類違禁品的機率是千分之
0.5。程序上，先由檢疫犬憑嗅覺判別，嗅出可能是有違禁肉品才詳細開
箱檢查。已知檢疫犬嗅覺「將正常行李箱誤判為有違禁肉品」的機率是
1/10；另外，「把有違禁肉品者誤判為正常行李箱」的機率是10-5。
今甲的某件行李被檢疫犬嗅出認為有肉類違禁品，請問他實際上真的有
肉類違禁品的機率大約是多少？（答案小數點以下3 位即可）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、事件定義：令 D 代表行李實際有肉類違禁品，+ 代表檢疫犬嗅出有違禁品。已知盛行率 P(D)=0.0005，偽陽性率 P(+|D^c)=0.1，偽陰性率 P(−|D)=10^(−5)，因此敏感度 P(+|D)=1−10^(−5)=0.99999。
- 二、貝氏定理：所求為 P(D|+)＝P(+|D)P(D)／[P(+|D)P(D)+P(+|D^c)P(D^c)]，此即陽性預測值（positive predictive value, PPV），必須以盛行率為基礎加權。
- 三、數值計算：分子＝0.99999×0.0005＝0.000499995；分母＝0.000499995＋0.1×0.9995＝0.10044999。因此 P(D|+)＝0.00498，取三位小數為 0.005（約 0.5%）。
- 四、結果解讀：即使檢疫犬敏感度極高，因違禁品盛行率僅千分之 0.5，陽性結果中真正有違禁品者僅約 0.5%，即約 200 件警報才有 1 件屬實，此即忽略基礎率（base rate）所造成的謬誤。
- 五、政策意涵：可透過降低偽陽性率、提高敏感度，或對陽性行李再行複驗（第二次檢驗）來提升後驗機率；若複驗結果獨立，且敏感度與特異度不變，兩次皆為陽性可使 PPV 明顯上升。
某地方政府推動「青年創業補助政策」，為了解補助資源分配情形，研究
人員隨機抽取27 位申請者，記錄其申請補助金額（單位：千元）如下：
322 339 340 343 356 364 391 417 476
261 269 271 274 279 280 283 283 286
287 292 293 296 300 304 305 313 321
求整體申請者補助金額的第25 百分位數（25th percentile）ߨ.ଶହ的點估
計值。（10 分）
求申請者補助金額的IQR（Inter-Quartitle Range，四分位距）。（10 分）
附表1 卜瓦松分布累積機率表
附表2
常態分配表
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0
.0000
.0040
.0080
.0120
.0160
.0199
.0239
.0279
.0319
.0359
0.1
.0398
.0438
.0478
.0517
.0557
.0596
.0636
.0675
.0714
.0753
0.2
.0793
.0832
.0871
.0910
.0948
.0987
.1026
.1064
.1103
.1141
0.3
.1179
.1217
.1255
.1293
.1331
.1368
.1406
.1443
.1480
.1517
0.4
.1554
.1591
.1628
.1664
.1700
.1736
.1772
.1808
.1844
.1879
0.5
.1915
.1950
.1985
.2019
.2054
.2088
.2123
.2157
.2190
.2224
0.6
.2257
.2291
.2324
.2357
.2389
.2422
.2454
.2486
.2517
.2549
0.7
.2580
.2611
.2642
.2673
.2704
.2734
.2764
.2794
.2823
.2852
0.8
.2881
.2910
.2939
.2967
.2995
.3023
.3051
.3078
.3106
.3133
0.9
.3159
.3186
.3212
.3238
.3264
.3289
.3315
.3340
.3365
.3389
1.0
.3413
.3438
.3461
.3485
.3508
.3531
.3554
.3577
.3599
.3621
1.1
.3643
.3665
.3686
.3708
.3729
.3749
.3770
.3790
.3810
.3830
1.2
.3849
.3869
.3888
.3907
.3925
.3944
.3962
.3980
.3997
.4015
1.3
.4032
.4049
.4066
.4082
.4099
.4115
.4131
.4147
.4162
.4177
1.4
.4192
.4207
.4222
.4236
.4251
.4265
.4279
.4292
.4306
.4319
1.5
.4332
.4345
.4357
.4370
.4382
.4394
.4406
.4418
.4429
.4441
1.6
.4452
.4463
.4474
.4484
.4495
.4505
.4515
.4525
.4535
.4545
1.7
.4554
.4564
.4573
.4582
.4591
.4599
.4608
.4616
.4625
.4633
1.8
.4641
.4649
.4656
.4664
.4671
.4678
.4686
.4693
.4699
.4706
1.9
.4713
.4719
.4726
.4732
.4738
.4744
.4750
.4756
.4761
.4767
2.0
.4772
.4778
.4783
.4788
.4793
.4798
.4803
.4808
.4812
.4817
2.1
.4821
.4826
.4830
.4834
.4838
.4842
.4846
.4850
.4854
.4857
2.2
.4861
.4864
.4868
.4871
.4875
.4878
.4881
.4884
.4887
.4890
2.3
.4893
.4896
.4898
.4901
.4904
.4906
.4909
.4911
.4913
.4916
2.4
.4918
.4920
.4922
.4925
.4927
.4929
.4931
.4932
.4934
.4936
2.5
.4938
.4940
.4941
.4943
.4945
.4946
.4948
.4949
.4951
.4952
2.6
.4953
.4955
.4956
.4957
.4959
.4960
.4961
.4962
.4963
.4964
2.7
.4965
.4966
.4967
.4968
.4969
.4970
.4971
.4972
.4973
.4974
2.8
.4974
.4975
.4976
.4977
.4977
.4978
.4979
.4979
.4980
.4981
2.9
.4981
.4982
.4982
.4983
.4984
.4984
.4985
.4985
.4986
.4986
3.0
.4987
.4987
.4987
.4988
.4988
.4989
.4989
.4989
.4990
.4990
3.1
.4990
.4991
.4991
.4991
.4992
.4992
.4992
.4992
.4993
.4993
3.2
.4993
.4993
.4994
.4994
.4994
.4994
.4994
.4995
.4995
.4995
3.3
.4995
.4995
.4995
.4996
.4996
.4996
.4996
.4996
.4996
.4997
3.4
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4997
.4998
3.5
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
.4998
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料整理：n=27，將 27 筆金額由小到大排序為 261, 269, 271, 274, 279, 280, 283, 283, 286, 287, 292, 293, 296, 300, 304, 305, 313, 321, 322, 339, 340, 343, 356, 364, 391, 417, 476（單位：千元）。
- 二、第 25 百分位數：採位置法，位置=(n+1)×0.25=28×0.25=7，取第 7 個觀察值，π̂0.25=283 千元。若採 np 內插法，位置=6.75，得 280+0.75×(283−280)=282.25 千元。
- 三、第 75 百分位數：位置=(n+1)×0.75=21，取第 21 個觀察值，Q3=340 千元；若採 np 內插法，位置=20.25，得 339+0.25×(340−339)=339.25 千元。
- 四、四分位距：IQR=Q3−Q1=340−283=57 千元；以內插法計算亦為 339.25−282.25=57 千元，兩法結果一致，可作為穩健的分散程度指標。
- 五、結果詮釋：中間 50% 的申請補助金額約落在 283 至 340 千元之間，全距達 57 千元；相對於平均數，IQR 不受極端值（如 476 千元）影響，較適合描述偏態資料的集中與分散情形。