民國115年 高考三級 農業行政 統計學
第2題
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ…
題目
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ= 0.05下檢定： ܪ: ߤଵ≤ߤଶ+ 1 ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1 選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案， 而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 請對上述假說進行檢定。（15 分） 選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧ （i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異 量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。 （15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定：設 μ1、μ2 分別為 AI(X) 與 AI(Y) 的平均計算時間，檢定 H0：μ1≤μ2+1 對 H1：μ1>μ2+1，等價於檢定兩者平均時間差是否顯著大於 1，採右尾檢定，α=0.05。
- 二、獨立樣本檢定：n1=n2=8，df=14。混合變異數 s_p²=[(8−1)8+(8−1)8]/14=8，標準誤 SE=√[8(1/8+1/8)]=√2=1.414。t=[(12−9)−1]/1.414=1.414。臨界值 t(0.95,14)=1.761，且 t<1.761，故不拒絕 H0，p 值約為 0.089。
- 三、配對樣本檢定：令 d_i=x_i−y_i，d̄=12−9=3。兩變數差之變異數 s_d²=s_x²+s_y²−2r·s_x·s_y=8+8−2(0.5)(√8)(√8)=8。t=(3−1)/√(8/8)=2，df=7，臨界值 t(0.95,7)=1.895，因 t>1.895，故拒絕 H0，p 值約為 0.043。
- 四、結論比較：在同一組敘述統計量下，獨立設計不顯著，配對設計顯著。原因在於配對設計扣除題目難度造成的共同變異（r=0.5），使標準誤由 1.414 降為 1，檢定力提高，顯示實驗設計對推論結果影響甚大。
- 五、注意事項：檢定假設兩母體為常態分配且變異數同質；樣本僅有 8 題，宜留意常態性假設。若不假定變異數同質，可改用 Welch t 檢定；另本題 s² 以分母 n−1 計算，若教科書定義不同，數值會略異，但結論方向一致。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。