某研究欲探討養殖池水中亞硝酸鹽濃度X（單位：mg/L）與魚苗存活率Y（單位：%…｜115年高考三級漁業技術生物統計學第4題題目

Question

某研究欲探討養殖池水中亞硝酸鹽濃度X（單位：mg/L）與魚苗存活 率Y（單位：%）之關係。研究人員蒐集20 口養殖池資料，摘要統 計量如下，請進行分析與推論（顯著水準均為α = 0.05）。 統計量 數值 樣本數（n） X 平均數（x̄ ） 5.0 mg/L Y 平均數（ȳ） 74.0 % X 標準差（Sₓ） 1.6 mg/L Y 標準差（Sｙ） 8.0 % Pearson 相關係數（r） −0.65 請求出以X 預測Y 之簡單線性迴歸方程式。（8 分） 請解釋斜率之生物統計意義，並預測當亞硝酸鹽濃度為6.0 mg/L 時之魚苗存活率。（6 分） 請計算決定係數R²，並解釋其意義。（5 分） 請檢定X 與Y 之母群體相關係數是否為0。（6 分） 附表一、標準常態分布表（左尾累積機率） z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -2.50 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 -2.40 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 -2.30 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 -2.20 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 -2.10 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 -2.00 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 -1.90 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 -1.80 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 -1.70 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 -1.60 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 -1.50 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 -1.40 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 -1.30 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 -1.20 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 -1.10 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 -1.00 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 -0.90 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 -0.80 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 -0.70 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 -0.60 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 -0.50 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 -0.40 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 -0.30 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 -0.20 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 -0.10 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.00 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 附表二、t分布表（第一列為數值右尾累積機率） df 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 0.691 1.341 1.753…

Accepted Answer

一、簡單線性迴歸模型為 Y=α+βX+ε。斜率 b=r×S_y/S_x=(−0.65)×8/1.6=−3.25；截距 a=ȳ−b x̄=74−(−3.25×5)=90.25。故迴歸方程式為 ŷ=90.25−3.25X，其中 X 單位為 mg/L、ŷ 單位為 %。 二、斜率 −3.25 表示亞硝酸鹽濃度每增加 1 mg/L，魚苗存活率平均下降 3.25 個百分點；此為直線關係下的平均邊際效果，不宜逕作因果解讀。當 X=6.0 mg/L 時，ŷ=90.25−3.25×6=70.75%，即預測存活率約 70.75%。 三、決定係數（coefficient of determination）R²=r²=(−0.65)²=0.4225。其意義為：魚苗存活率的樣本變異中，約 42.25% 可由亞硝酸鹽濃度的線性迴歸解釋，其餘 57.75% 來自其他因素與隨機誤差；R² 亦等於迴歸解釋變異占總變異的比例。 四、在雙變量常態假設下檢定 H₀:ρ=0，H₁:ρ≠0，統計量 t=r√(n−2)/√(1−r²)=(−0.65)×√18/√(1−0.4225)=−3.63，df=18。查 t 表 t₀.₀₂₅,18=2.101，因 |−3.63|>2.101（p<0.05），拒絕 H₀，結論為 X 與 Y 具顯著負相關。 五、迴歸預測僅在觀測範圍內較可靠；6.0 mg/L 尚在合理範圍，但應注意常態、獨立、等變異與線性等假設，並可報告斜率信賴區間或殘差診斷。

某研究欲探討養殖池水中亞硝酸鹽濃度X（單位：mg/L）與魚苗存活率Y（單位：%）之關係。研究人員蒐集20 口養殖池資料，摘要統計量如下，請進行分析與推論（顯…

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