民國115年 高考三級 土木工程 材料力學與結構學
第4題
如圖四所示之剛構架，由四根構件所組成（AO 及DO 之長度為4 m， BO 及CO 之長度為2 m，各構件之斷面撓曲剛度均為EI），A、B、D 均 為固定端，而…
題目
如圖四所示之剛構架，由四根構件所組成（AO 及DO 之長度為4 m， BO 及CO 之長度為2 m，各構件之斷面撓曲剛度均為EI），A、B、D 均 為固定端，而C 為鉸支承，O 點處承受一彎矩100 kN-m。不考慮軸向變 形之條件下，試回答下列問題： A、B 及D 支承處之彎矩為何？（須標明大小與方向）（10 分） O 點之轉角量為何？（須標明大小與方向，用EI 表示即可）。（15 分） 4 m 2 m A B C D O 100 kN-m 4 m 2 m 圖四
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、幾何與邊界條件：O 為四根構件交會之剛接節點，AO、DO 水平各長 4 m，BO、CO 垂直各長 2 m；A、B、D 為固定端，C 為鉸支承（可自由轉動但位置固定）。忽略軸向變形後各桿不可伸長，O 點受四桿牽制無法平移，故為無側移（no-sway）之節點力矩分配問題，僅有轉角 θ_O 為未知。
- 二、桿端勁度：遠端固定者採 4EI/L，遠端鉸接者採 3EI/L。K_AO = 4EI/4 = EI，K_BO = 4EI/2 = 2EI，K_DO = 4EI/4 = EI，K_CO = 3EI/2 = 1.5EI，合計 ΣK = 5.5EI。
- 三、O 點力矩分配：分配係數為 D = K/ΣK，得 D_AO = 0.182、D_BO = 0.364、D_DO = 0.182、D_CO = 0.273。將 100 kN·m 依比例分配：M_OA = 18.18、M_OB = 36.36、M_OD = 18.18、M_OC = 27.27 kN·m，四者之和恰為 100 kN·m，滿足節點平衡。
- 四、支承彎矩：固定端之傳遞係數為 1/2，故 M_A = 9.09 kN·m、M_B = 18.18 kN·m、M_D = 9.09 kN·m，方向與 O 點各該桿端彎矩同向；C 為鉸接，傳遞係數為零，M_C = 0，可作為檢核。
- 五、O 點轉角：由 M_OA = (4EI/L)θ_O 得 θ_O = 18.18/EI；以 BO 驗算 36.36/(2EI) = 18.18/EI，以 CO 驗算 27.27/(1.5EI) = 18.18/EI，三者一致。故 θ_O = 100/(5.5EI) = 18.18/EI rad，轉向與所施加 100 kN·m 彎矩同向（若外力改為反向，則所有彎矩與轉角一併反向）。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。