民國115年 高考三級 土木工程 材料力學與結構學考古題

民國115年 高考三級 土木工程 材料力學與結構學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

一直桿ABC且由二種不同圓形實心斷面之桿件組成（AB斷面積為600mm2、 BC 斷面積為300mm2，彈性模數為210GPa），一集中力量作用於B 點之圓 心上，如圖一所示，A 及C 點均為固定端。試回答下列問題： AB 桿件中之最大正應力為何？（請標示其拉壓狀態）（10 分） B 點之水平位移量為何？（請標示方向）（15 分） 10 kN A B C 2 m 2 m 圖一

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、靜不定度與分析模型：AB、BC 兩段串聯且 A、C 均為固定端，桿件僅承受軸力，靜不定度為 1。假設 10 kN 水平力作用於 B 點且指向 C（向右，即 A→C 方向），則 AB 段受拉、BC 段受壓；設 A 端軸向反力為 R_A、C 端為 R_C，由力平衡得 R_A + R_C = 10 kN。
  • 二、變形相容條件：兩端固定，B 點之總軸向伸長量為零，即 δ_AB + δ_BC = 0。其中 δ_AB = R_A L_AB/(E A_AB)，δ_BC = −R_C L_BC/(E A_BC)。因兩段長度同為 2 m、彈性模數同為 210 GPa，可相消，得 R_A/600 = R_C/300，即 R_A = 2R_C。
  • 三、求解內力：聯立 R_A = 2R_C 與 R_A + R_C = 10 kN，得 R_A = 6.67 kN（AB 拉力）、R_C = 3.33 kN（BC 壓力）。口訣：串聯桿件之軸力依斷面積比例分配，斷面大者分擔較多力量。
  • 四、AB 段最大正應力：σ_AB = R_A/A_AB = 6667 N/600 mm² = 11.1 N/mm² = 11.1 MPa，為拉應力。另 BC 段 σ = 3333/300 = 11.1 MPa 壓應力，兩段應力相等，可作為驗算（因變形一致、E 相同，故應變與應力相同）。
  • 五、B 點水平位移：δ_B = R_A L/(E A_AB) = (6667×2000)/(210000×600) = 0.106 mm，方向與外力同向，即向右（朝 C）。以 BC 段驗算：δ_B = (3333×2000)/(210000×300) = 0.106 mm，結果一致。若外力反向，則 AB 受壓、BC 受拉，位移方向相反、大小不變。

第2題

如圖二所示之簡支梁，梁長為5 m，A 為鉸支承，而B 點下方為一根二 力桿件BC，且其軸向勁度k 為2000 kN/m，梁斷面為口字型（如圖二所 示之斷面尺寸，各邊厚度均為5 cm），梁上承受一均布載重10 kN/m。試 回答下列問題： 梁中之斷面最大彎矩為何？（請標示彎矩之方向）（10 分） 梁中之斷面最大正應力為何？（15 分） A B 5 m 10 kN/m k C 50 cm 50 cm 5 cm 5 cm 圖二

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、結構模型與靜不定度：A 為鉸支承，B 端下方二力桿 BC 相當於一彈性支承（軸向彈簧，k = 2000 kN/m），結構為一度靜不定。取 B 點反力 R_B 為多餘力，其餘反力可由靜力平衡直接求得。
  • 二、最大彎矩：對 B 點取力矩，R_A×5 = (10×5)×2.5，得 R_A = 25 kN；此值與 R_B 無關，因 R_B 之作用線通過 B 點。彎矩函數 M(x) = 25x − 5x²，於 x = 2.5 m 處最大值 M_max = 62.5 − 31.25 = 31.25 kN·m，為正彎矩（底部受拉、頂部受壓），B 端彎矩恆為零。
  • 三、斷面幾何性質：口字型斷面外緣 500 mm×500 mm、內緣 400 mm×400 mm（各邊厚 50 mm）。慣性矩 I = (500⁴ − 400⁴)/12 = (6.25×10¹⁰ − 2.56×10¹⁰)/12 = 3.075×10⁹ mm⁴；中立軸距離 c = 250 mm，斷面模數 S = I/c = 1.23×10⁷ mm³。
  • 四、最大正應力：σ_max = M_max/S = (31.25×10⁶ N·mm)/(1.23×10⁷ mm³) = 2.54 N/mm²（MPa），發生於跨中央斷面，頂部纖維受壓、底部纖維受拉。計算時須注意單位統一（kN·m 換為 N·mm）。
  • 五、討論與延伸：彈性支承位於彎矩恆為零之梁端，故 k 值只影響 B 點沉陷量與 R_B 大小，並不改變彎矩圖與最大彎矩，此為本題關鍵。若題目另問 B 點位移，則需以 δ_B = R_B/k 與梁撓度式 5wL⁴/384EI − R_B L³/48EI 相容求解，並須另給梁之彈性模數 E。

第3題

如圖三所示之桁架結構，在b 點承受一向下外力2 kN。試回答下列問題： 各桿件內力分別為多少？（請標示拉力或壓力）（10 分） c 點之水平位移量為何？（各桿件之軸向剛度EA 均為200 kN）（請 標示方向）（15 分） a b c d e f 3@2 m=6 m 2 kN 2 m 2 m g 圖三

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、幾何與支承條件：依圖三，桁架為跨度 6 m（3 個 2 m 節間）、高 2 m 之華倫式桁架（Warren truss）。下弦節點 a(0,0)、c(2,0)、e(4,0)、g(6,0)，上弦節點 b(1,2)、d(3,2)、f(5,2)；a 為鉸支承、g 為滾支承，共 7 節點、11 根桿件，符合 m = 2j − 3，屬靜定桁架。
  • 二、支承反力：對 a 點取力矩，R_g×6 = 2×1，得 R_g = 0.333 kN（向上）；再由垂直力平衡得 R_a = 1.667 kN（向上）。因外力偏左，右端反力甚小。
  • 三、各桿內力（節點法，拉力為正）：ab = −1.863 kN（壓）、bc = −0.373 kN（壓）、ac = +0.833 kN（拉）、bd = −0.667 kN（壓）、cd = +0.373 kN（拉）、ce = +0.500 kN（拉）。
  • 四、續算右半部：由 d 點得 de = −0.373 kN（壓）、df = −0.333 kN（壓）；由 e 點得 ef = +0.373 kN（拉）、eg = +0.167 kN（拉）；由 f 或 g 點得 fg = −0.373 kN（壓）。可檢核 g 點水平與垂直平衡均滿足。
  • 五、c 點水平位移（單位載重法）：於 c 點施加 1 kN 向右水平單位力，因外力作用線通過 a 點，R_g = 0，僅 ac 桿產生單位內力 n_ac = +1，其餘桿件 n = 0。故 Δ_cx = Σ nNL/EA = (1×0.8333×2)/200 = 8.33×10⁻³ m = 8.33 mm，正值表示與單位力同向，即 c 點向右位移 8.33 mm。

第4題

如圖四所示之剛構架，由四根構件所組成（AO 及DO 之長度為4 m， BO 及CO 之長度為2 m，各構件之斷面撓曲剛度均為EI），A、B、D 均 為固定端，而C 為鉸支承，O 點處承受一彎矩100 kN-m。不考慮軸向變 形之條件下，試回答下列問題： A、B 及D 支承處之彎矩為何？（須標明大小與方向）（10 分） O 點之轉角量為何？（須標明大小與方向，用EI 表示即可）。（15 分） 4 m 2 m A B C D O 100 kN-m 4 m 2 m 圖四

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、幾何與邊界條件：O 為四根構件交會之剛接節點，AO、DO 水平各長 4 m，BO、CO 垂直各長 2 m；A、B、D 為固定端，C 為鉸支承（可自由轉動但位置固定）。忽略軸向變形後各桿不可伸長，O 點受四桿牽制無法平移，故為無側移（no-sway）之節點力矩分配問題，僅有轉角 θ_O 為未知。
  • 二、桿端勁度：遠端固定者採 4EI/L，遠端鉸接者採 3EI/L。K_AO = 4EI/4 = EI，K_BO = 4EI/2 = 2EI，K_DO = 4EI/4 = EI，K_CO = 3EI/2 = 1.5EI，合計 ΣK = 5.5EI。
  • 三、O 點力矩分配：分配係數為 D = K/ΣK，得 D_AO = 0.182、D_BO = 0.364、D_DO = 0.182、D_CO = 0.273。將 100 kN·m 依比例分配：M_OA = 18.18、M_OB = 36.36、M_OD = 18.18、M_OC = 27.27 kN·m，四者之和恰為 100 kN·m，滿足節點平衡。
  • 四、支承彎矩：固定端之傳遞係數為 1/2，故 M_A = 9.09 kN·m、M_B = 18.18 kN·m、M_D = 9.09 kN·m，方向與 O 點各該桿端彎矩同向；C 為鉸接，傳遞係數為零，M_C = 0，可作為檢核。
  • 五、O 點轉角：由 M_OA = (4EI/L)θ_O 得 θ_O = 18.18/EI；以 BO 驗算 36.36/(2EI) = 18.18/EI，以 CO 驗算 27.27/(1.5EI) = 18.18/EI，三者一致。故 θ_O = 100/(5.5EI) = 18.18/EI rad，轉向與所施加 100 kN·m 彎矩同向（若外力改為反向，則所有彎矩與轉角一併反向）。