有一非黏滯性流體之流場速度勢能函數表示如下： (3 ) x y y 其中x 與y 的單位為m， 的單位為m2/s，此流體為水，假設此流場並 無高程的改變，計算本…

題目

有一非黏滯性流體之流場速度勢能函數表示如下： (3 ) x y y 其中x 與y 的單位為m， 的單位為m2/s，此流體為水，假設此流場並 無高程的改變，計算本流場中兩個位置(x, y)：(1, 2)與(4, 4)之間的水壓 差。（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、題意解析與速度勢能：題目給定 φ = x³y − xy³（m²/s），此即速度勢能函數（velocity potential）。由 u = ∂φ/∂x = 3x²y − y³、v = ∂φ/∂y = x³ − 3xy² 可得速度場；且 ∇²φ = 6xy + (−6xy) = 0，滿足 Laplace 方程式（Laplace equation），故流場為不可壓縮、非黏滯、無旋（irrotational）之理想流場，全場 Bernoulli 常數相同，可直接應用 Bernoulli 方程式求壓差。
• 二、兩點速度計算：於 (1, 2) 處 u = 3(1)²(2) − 2³ = 6 − 8 = −2 m/s，v = 1³ − 3(1)(2)² = 1 − 12 = −11 m/s，故 V₁² = (−2)² + (−11)² = 125 m²/s²。於 (4, 4) 處 u = 3(16)(4) − 64 = 128 m/s，v = 64 − 3(4)(16) = −128 m/s，故 V₂² = 128² + 128² = 32,768 m²/s²。兩點流速大小差異懸殊，為壓差的主要來源。
• 三、Bernoulli 方程式求解：沿流線 p/γ + V²/2g + z = 常數，題設無高程改變（z₁ = z₂），故 p₁/γ + V₁²/2g = p₂/γ + V₂²/2g，即 p₁ − p₂ = (ρ/2)(V₂² − V₁²)。代入 ρ = 1000 kg/m³ 得 p₁ − p₂ = 500 × (32,768 − 125) = 500 × 32,643 = 1.632 × 10⁷ Pa ≈ 16.3 MPa。即 (1, 2) 點壓力較 (4, 4) 點高出約 16.3 MPa（約 163 bar）。
• 四、結果討論與限制：本解基於穩態、不可壓縮、無黏性及無旋之假設；若流場非穩態，Bernoulli 式須增列 ∂φ/∂t 項。真實水體具黏性，邊界層與水頭損失會使實際壓差偏離勢流解；且 16.3 MPa 之量級對應流速約 181 m/s，實務上難以維持無空化流況，故僅供理論演練。作答時宜標明所用方程式、代入值與單位，並明確指出壓差方向。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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