首頁 / 高考三級 水利工程考古題 / 民國115年 高考三級 水利工程 流體力學 民國115年 高考三級 水利工程 流體力學考古題
民國115年 高考三級 水利工程 流體力學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
有一非黏滯性流體之流場速度勢能函數表示如下：
(3
)
x y
y
其中x 與y 的單位為m， 的單位為m2/s，此流體為水，假設此流場並
無高程的改變，計算本流場中兩個位置(x, y)：(1, 2)與(4, 4)之間的水壓
差。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題意解析與速度勢能：題目給定 φ = x³y − xy³（m²/s），此即速度勢能函數（velocity potential）。由 u = ∂φ/∂x = 3x²y − y³、v = ∂φ/∂y = x³ − 3xy² 可得速度場；且 ∇²φ = 6xy + (−6xy) = 0，滿足 Laplace 方程式（Laplace equation），故流場為不可壓縮、非黏滯、無旋（irrotational）之理想流場，全場 Bernoulli 常數相同，可直接應用 Bernoulli 方程式求壓差。 二、兩點速度計算：於 (1, 2) 處 u = 3(1)²(2) − 2³ = 6 − 8 = −2 m/s，v = 1³ − 3(1)(2)² = 1 − 12 = −11 m/s，故 V₁² = (−2)² + (−11)² = 125 m²/s²。於 (4, 4) 處 u = 3(16)(4) − 64 = 128 m/s，v = 64 − 3(4)(16) = −128 m/s，故 V₂² = 128² + 128² = 32,768 m²/s²。兩點流速大小差異懸殊，為壓差的主要來源。 三、Bernoulli 方程式求解：沿流線 p/γ + V²/2g + z = 常數，題設無高程改變（z₁ = z₂），故 p₁/γ + V₁²/2g = p₂/γ + V₂²/2g，即 p₁ − p₂ = (ρ/2)(V₂² − V₁²)。代入 ρ = 1000 kg/m³ 得 p₁ − p₂ = 500 × (32,768 − 125) = 500 × 32,643 = 1.632 × 10⁷ Pa ≈ 16.3 MPa。即 (1, 2) 點壓力較 (4, 4) 點高出約 16.3 MPa（約 163 bar）。 四、結果討論與限制：本解基於穩態、不可壓縮、無黏性及無旋之假設；若流場非穩態，Bernoulli 式須增列 ∂φ/∂t 項。真實水體具黏性，邊界層與水頭損失會使實際壓差偏離勢流解；且 16.3 MPa 之量級對應流速約 181 m/s，實務上難以維持無空化流況，故僅供理論演練。作答時宜標明所用方程式、代入值與單位，並明確指出壓差方向。
水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow）
系統，管壁剪應力為90.85 N/m2，圓管直徑（D）為0.3 m。可以使用
Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度（dp/dx=Δp/L），其中x 為沿水流
方向的座標；Δp 為管長L 的壓力差。在下列情況下，可獲得的Δp/L 為
何？（每小題10 分，共20 分）
水平流動。
垂直向上流動。
提示：水平流動Poiseuille’s law：
D
Q
L
p
其中μ 為黏滯係數；Q 為管內體積流率。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、管壁剪應力與壓力梯度關係：完全發展層流（fully developed laminar flow）中，取管長 L、管徑 D 之圓柱控制體積作力平衡，可得 τw = (Δp/L)(D/4)，此即 Poiseuille 定律之剪應力形式。移項得 Δp/L = 4τw/D = 4 × 90.85 / 0.3 = 1211.3 Pa/m。此值代表單位管長之摩擦壓降，方向與流向相反。 二、水平流動：水平管無重力分量，壓力梯度僅用於克服摩擦，故 dp/dx = −Δp/L = −1211.3 Pa/m，即 Δp/L = 1.21 kPa/m。亦即每流經 1 m 管長，壓力下降約 1.21 kPa；若管長 10 m，總壓差約 12.1 kPa。此小題為純摩擦壓降問題，與雷諾數無關，只須流況確為層流即可。 三、垂直向上流動：流體須同時克服重力與摩擦，能量方程式為 dp/dx = −ρg − 4τw/D，故 Δp/L = ρg + 4τw/D = 9810 + 1211.3 = 11,021.3 Pa/m ≈ 11.0 kPa/m。其中 ρg = 9810 N/m³ 為水之單位體積重量（γ），約占總梯度九成，顯示垂直向上流動時重力效應遠大於黏性效應。 四、補充與討論：若改為垂直向下流動，重力助流，則 Δp/L = 4τw/D − ρg = −8598.7 Pa/m（壓力沿流向回升）。另由 Poiseuille 定律 Δp = 128μLQ/(πD⁴) 可反推體積流率或黏滯係數，惟題目未給 μ 或 Q，故僅能求得壓力梯度。答題時應明確標示正負號之座標約定，並註明剪應力均勻分布、流況已完全發展之前提。
水平方向管道中流動的空氣通過噴嘴後撞擊其正面垂直向的一個木板，如
圖一所示。空氣流過管道與噴嘴的截面積分別為A1=0.01 m2，A2=0.003 m2。
若此平板需要以12 N 的水平方向作用力（F）維持於原位置，說明與計算
圖中管道上之壓力計的測壓（gage pressure）為何？假設此流場為不可壓縮
流與可忽略摩擦作用力。空氣密度為1.23 kg/m3。（20 分）
圖一
參考解答（AI 生成，非官方） 一、動量方程式求噴流速度：取噴嘴出口至平板間為控制體積（control volume），噴流正面撞擊平板後沿板面徑向散開，出口水平動量通量為零，故平板反作用力 F = ρQ₂V₂ = ρA₂V₂²。解得 V₂ = √(F/(ρA₂)) = √(12/(1.23 × 0.003)) = √3252 ≈ 57.0 m/s。 二、連續性方程式求管內流速：不可壓縮流 Q = A₁V₁ = A₂V₂，故 V₁ = V₂(A₂/A₁) = 57.0 × (0.003/0.01) = 57.0 × 0.3 = 17.1 m/s。面積收縮約 3.33 倍，流速放大同倍率，此即噴嘴（nozzle）加速之基本原理，亦為壓力計可量得低壓之原因。 三、Bernoulli 方程式求測壓：沿水平中心流線 p₁ + ρV₁²/2 = p₂ + ρV₂²/2，噴流出口為大氣壓（p₂ = 0 表壓），故測壓 p₁,gage = (ρ/2)(V₂² − V₁²) = (1.23/2)(3252 − 293) = 0.615 × 2959 ≈ 1820 Pa ≈ 1.82 kPa。相當於約 0.018 atm 或 186 mm 水柱，壓力計讀值約 1.8 kPa。 四、假設與限制：本解假設噴流為自由噴流、平板完全垂直且面積足夠大、忽略摩擦與重力、空氣不可壓縮（57 m/s 對應 Mach 數約 0.17，壓縮性影響尚小）。若平板傾斜或部分流體未轉向，動量式須改為 F = ρAV²(1 − cosθ)。答題時建議先寫動量式求流速、再以能量式求壓力，並註明壓力計所量者為表壓（gage pressure）。
圖二為河川在某地點河段的斷面量測結果，某天在無風情況下，丟入河
中的浮球於10 分鐘內隨著河水往下游移動1 公里的距離，同時測量出
浮球下降0.1 公尺的高程，假設河水為穩態等速流：
使用曼寧方程式（Manning equation）推估此河段的曼寧n 值。（15 分）
說明此曼寧n 值的單位。（5 分）
圖二
寬度, m
深度, m
參考解答（AI 生成，非官方） 一、基本資料整理：浮球隨水面漂流，可視為水面流速，V = 1000 m / 600 s = 1.667 m/s。水位在 1 km 內下降 0.1 m，水力坡度 S = 0.1/1000 = 1 × 10⁻⁴。題設穩態等速均勻流，故可用 Manning 方程式（Manning equation）推估粗糙係數 n。 二、Manning 方程式與移項：V = (1/n) R^(2/3) S^(1/2)，其中 R = A/P 為水力半徑（hydraulic radius），A 為通水面積、P 為濕周（wetted perimeter）。移項得 n = R^(2/3) S^(1/2)/V = R^(2/3) × 0.01 / 1.667 = 0.006 R^(2/3)。故只要由斷面圖求出 R，即可得 n。 三、斷面資料處理步驟：依圖二之寬度—深度關係，將斷面沿寬度分割為若干垂直條帶，以 A = Σ(寬_i × 平均深_i) 求通水面積；再以 P = 底寬 + Σ√(Δ寬² + Δ深²) 求濕周；最後 R = A/P 代入上式。惟本題僅列「寬度, m」「深度, m」兩座標軸而未附數值，R 無法決定，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。 四、數值示例與合理性檢核：若量測得 R = 1.0 m，則 n = 0.006 × 1 = 0.006；R = 2.0 m 時 n = 0.006 × 1.587 ≈ 0.0095。天然河川 n 多在 0.025～0.04，對應 R 約 7～15 m，可用以檢核斷面資料是否合理。作答時應完整列出 A、P、R 之計算過程與假設，切勿只寫最後答案。 五、曼寧 n 的單位：由 V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2) 作因次分析，n 具 L^(−1/3)T 之因次（SI 制），並非完全無因次；但因公式係數 1（SI 制）已吸收單位，工程慣例視 n 為無因次（dimensionless）之粗糙係數。若採英制單位，係數改為 1.486，同一河段之 n 值不變，惟前後單位必須一致，不可混用。
儲水槽的水需要經由兩個幫浦自管線抽出使用，如圖三所示。抽出的流
速（V）為8 m/s，由於原本管線中第一個幫浦（pump #1）所提供1 kW
的功率無法獲得所需要的流速（=8 m/s），故使用第二個幫浦（pump #2），
以達到上述的流速，故pump #2 需要的功率為何？此管線的水頭損失
（hL）與體積流率（Q）的關係為hL=250Q2，其中hL 及Q 的單位分別為
m 及m3/s。圖中管線與噴嘴截面積（A 和a）分別為0.02 m2 及0.01 m2，
z=2 m。（20 分）
圖三
Nozzle area=a
Pipe area=A
V
Z
Pump
#2
Pump
#1
參考解答（AI 生成，非官方） 一、流量與管內流速：圖示 V 標於噴嘴出口，故取噴嘴出口流速 V = 8 m/s，體積流率 Q = aV = 0.01 × 8 = 0.08 m³/s。管內流速 V_pipe = Q/A = 0.08/0.02 = 4 m/s。水頭損失 hL = 250Q² = 250 × 0.0064 = 1.6 m。 二、能量方程式：取水槽自由水面（V≈0、p = 0 表壓）至噴嘴出口（p = 0 大氣壓）為控制斷面，幫浦所需總水頭 H_p = z + V²/2g + hL = 2 + 64/19.62 + 1.6 = 2 + 3.26 + 1.6 = 6.86 m。此即兩部串聯幫浦必須共同提供之水頭。 三、總水力功率：P_total = ρgQH_p = 9810 × 0.08 × 6.86 ≈ 5.38 kW（假設幫浦效率 100%）。其中 pump #1 提供 1 kW，換算水頭 H₁ = P₁/(ρgQ) = 1000/(9810 × 0.08) = 1.27 m，僅占總需求約兩成，故必須加裝第二部幫浦。 四、pump #2 所需功率：串聯幫浦水頭相加，故 H₂ = H_p − H₁ = 6.86 − 1.27 = 5.59 m，P₂ = ρgQH₂ = 9810 × 0.08 × 5.59 ≈ 4.38 kW，即約 4.4 kW。若以功率差法計算亦得 5.38 − 1.00 = 4.38 kW，兩法結果一致，可互相驗算。 五、討論與敏感度：若題意之 V = 8 m/s 係指管內流速，則 Q = 0.16 m³/s、噴嘴出口流速 16 m/s、hL = 6.4 m、H_p = 21.45 m、總功率約 33.7 kW，pump #2 約需 32.7 kW，差距甚大，作答時應依圖示 V 之標註位置說明所採假設。另本解忽略次要損失與幫浦效率，實務上應再除以效率 η 修正。