民國115年 高考三級 水利工程 流體力學
第2題
水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow） 系統，管壁剪應力為90.85 N/m2，圓管直徑（D）為0.3…
題目
水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow） 系統，管壁剪應力為90.85 N/m2，圓管直徑（D）為0.3 m。可以使用 Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度（dp/dx=Δp/L），其中x 為沿水流 方向的座標；Δp 為管長L 的壓力差。在下列情況下，可獲得的Δp/L 為 何？（每小題10 分，共20 分） 水平流動。 垂直向上流動。 提示：水平流動Poiseuille’s law： D Q L p 其中μ 為黏滯係數；Q 為管內體積流率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、管壁剪應力與壓力梯度關係：完全發展層流（fully developed laminar flow）中，取管長 L、管徑 D 之圓柱控制體積作力平衡，可得 τw = (Δp/L)(D/4)，此即 Poiseuille 定律之剪應力形式。移項得 Δp/L = 4τw/D = 4 × 90.85 / 0.3 = 1211.3 Pa/m。此值代表單位管長之摩擦壓降，方向與流向相反。
- 二、水平流動：水平管無重力分量，壓力梯度僅用於克服摩擦，故 dp/dx = −Δp/L = −1211.3 Pa/m，即 Δp/L = 1.21 kPa/m。亦即每流經 1 m 管長，壓力下降約 1.21 kPa；若管長 10 m，總壓差約 12.1 kPa。此小題為純摩擦壓降問題，與雷諾數無關，只須流況確為層流即可。
- 三、垂直向上流動：流體須同時克服重力與摩擦，能量方程式為 dp/dx = −ρg − 4τw/D，故 Δp/L = ρg + 4τw/D = 9810 + 1211.3 = 11,021.3 Pa/m ≈ 11.0 kPa/m。其中 ρg = 9810 N/m³ 為水之單位體積重量（γ），約占總梯度九成，顯示垂直向上流動時重力效應遠大於黏性效應。
- 四、補充與討論：若改為垂直向下流動，重力助流，則 Δp/L = 4τw/D − ρg = −8598.7 Pa/m（壓力沿流向回升）。另由 Poiseuille 定律 Δp = 128μLQ/(πD⁴) 可反推體積流率或黏滯係數，惟題目未給 μ 或 Q，故僅能求得壓力梯度。答題時應明確標示正負號之座標約定，並註明剪應力均勻分布、流況已完全發展之前提。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。