民國115年 高考三級 水利工程 渠道水力學
第1題
試以矩形渠道為例說明渠道水力學中比力（Specific force）之定義，繪出 比力與水深之關係曲線示意圖，並推導證明固定流量條件下比力最小時 所對應之水深為…
題目
試以矩形渠道為例說明渠道水力學中比力（Specific force）之定義，繪出 比力與水深之關係曲線示意圖，並推導證明固定流量條件下比力最小時 所對應之水深為臨界水深（Critical depth）。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義與動量基礎：取單位寬度渠道，忽略渠底阻力與動量修正係數，由動量方程式可得比力（specific force，或動量函數 momentum function）M=Q²/(gA)+A×ȳ；矩形渠寬 b、單寬流量 q=Q/b 時，M=q²/(g y)+y²/2。其因次為 m²，代表單位寬度之動量通量與靜水壓力合力之綜合量，與比能同為水深函數，但用途不同。
- 二、曲線內涵：固定 q 下，M(y) 由動量項 q²/(g y) 與靜水壓力項 y²/2 疊加；y→0 時前項趨近無窮大，y→∞ 時後項趨近無窮大，故以 M 為橫軸、y 為縱軸時，曲線呈開口向右之側 U 形，中間有極小。當 M>M_min 時，同一比力有兩個水深，分別為亞臨界與超臨界之交替水深（alternate depths），兩者以水躍共軛；此為比力曲線與比能曲線相似但物理意義不同之處。
- 三、推導：對 M(y)=q²/(g y)+y²/2 取導數，dM/dy=-q²/(g y²)+y；令其為零，得 y³=q²/g，故 y_c=(q²/g)^{1/3}。二階導數 d²M/dy²=2q²/(g y³)+1>0，確認極小。又 Fr=V/√(g y)=q/(y√(g y))，代入 y_c 得 Fr²=q²/(g y_c³)=1，故最小比力水深即臨界水深，Fr=1。
- 四、物理意義：比力最小表示在固定流量下，單位重量流體之動量通量與靜水壓力之綜合作用最小；此時比能亦最小，E_min=1.5 y_c（矩形渠）。若渠道有局部突起、束縮或水躍，忽略阻力時比力守恆，可用來求共軛水深；但水躍有能量損失，比能不守恆。應用時須注意矩形、定流量、β≈1、忽略渠底摩擦等假設。
- 五、繪圖要領：以縱軸為水深 y、橫軸為比力 M，先分別畫 q²/(g y) 之雙曲線與 y²/2 之拋物線，再疊加得開口向右之側 U 形比力曲線；在曲線最左端（M 最小）向左畫水平虛線至縱軸標 y_c，向下畫垂直虛線至橫軸標 M_min。曲線上半部標「亞臨界 Fr<1」、下半部標「超臨界 Fr>1」，並以垂直虛線連接同一 M 之兩交替水深，箭頭標示水躍方向。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。