首頁 / 高考三級 水利工程考古題 / 民國115年 高考三級 水利工程 渠道水力學 民國115年 高考三級 水利工程 渠道水力學考古題
民國115年 高考三級 水利工程 渠道水力學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
試以矩形渠道為例說明渠道水力學中比力（Specific force）之定義，繪出
比力與水深之關係曲線示意圖，並推導證明固定流量條件下比力最小時
所對應之水深為臨界水深（Critical depth）。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、定義與動量基礎：取單位寬度渠道，忽略渠底阻力與動量修正係數，由動量方程式可得比力（specific force，或動量函數 momentum function）M=Q²/(gA)+A×ȳ；矩形渠寬 b、單寬流量 q=Q/b 時，M=q²/(g y)+y²/2。其因次為 m²，代表單位寬度之動量通量與靜水壓力合力之綜合量，與比能同為水深函數，但用途不同。 二、曲線內涵：固定 q 下，M(y) 由動量項 q²/(g y) 與靜水壓力項 y²/2 疊加；y→0 時前項趨近無窮大，y→∞ 時後項趨近無窮大，故以 M 為橫軸、y 為縱軸時，曲線呈開口向右之側 U 形，中間有極小。當 M>M_min 時，同一比力有兩個水深，分別為亞臨界與超臨界之交替水深（alternate depths），兩者以水躍共軛；此為比力曲線與比能曲線相似但物理意義不同之處。 三、推導：對 M(y)=q²/(g y)+y²/2 取導數，dM/dy=-q²/(g y²)+y；令其為零，得 y³=q²/g，故 y_c=(q²/g)^{1/3}。二階導數 d²M/dy²=2q²/(g y³)+1>0，確認極小。又 Fr=V/√(g y)=q/(y√(g y))，代入 y_c 得 Fr²=q²/(g y_c³)=1，故最小比力水深即臨界水深，Fr=1。 四、物理意義：比力最小表示在固定流量下，單位重量流體之動量通量與靜水壓力之綜合作用最小；此時比能亦最小，E_min=1.5 y_c（矩形渠）。若渠道有局部突起、束縮或水躍，忽略阻力時比力守恆，可用來求共軛水深；但水躍有能量損失，比能不守恆。應用時須注意矩形、定流量、β≈1、忽略渠底摩擦等假設。 五、繪圖要領：以縱軸為水深 y、橫軸為比力 M，先分別畫 q²/(g y) 之雙曲線與 y²/2 之拋物線，再疊加得開口向右之側 U 形比力曲線；在曲線最左端（M 最小）向左畫水平虛線至縱軸標 y_c，向下畫垂直虛線至橫軸標 M_min。曲線上半部標「亞臨界 Fr<1」、下半部標「超臨界 Fr>1」，並以垂直虛線連接同一 M 之兩交替水深，箭頭標示水躍方向。
有一條渠寬10 m 的矩形渠道，有一段渠床凹陷0.3 m 的渠段，如圖1 所
示。有一定量流從上游往下游流動，上游段（位置A）的水深為1.5 m 及
流速為1.0 m/s。假如不計能量損失，試推估此渠流在渠床凹陷段（位置C）
的水深及流速，並繪圖示意說明此渠流水面線由位置A 到位置E 的變化。
（25 分）
圖1 渠流經過渠床凹陷段示意圖
參考解答（AI 生成，非官方） 一、流量與連續性：矩形渠寬 b=10 m，A 點水深 y_A=1.5 m、流速 V_A=1.0 m/s，故 Q=b y_A V_A=10×1.5×1.0=15 m³/s，單寬流量 q=Q/b=1.5 m²/s。定量流且斷面寬度不變，q 沿程相同；不計能量損失，總水頭（energy head）沿程守恆，僅渠底高程改變。 二、能量式：以 A 渠底為基準，A 之總水頭 H_A=y_A+V_A²/(2g)=1.5+1.0²/(2×9.81)=1.551 m。C 渠底較 A 低 0.3 m，故 z_C=-0.3 m；令 C 水深 y_C、流速 V_C=q/y_C，能量守恆為 z_C+y_C+V_C²/(2g)=H_A，即 y_C+q²/(2g y_C²)=1.851 m。 三、求解：q²/(2g)=1.5²/(2×9.81)=0.1147 m，解 y_C+0.1147/y_C²=1.851，得 y_C≈1.816 m。另一數學根約0.269 m屬超臨界分支；因上游 Fr_A=V_A/√(g y_A)=1.0/√(14.715)=0.26<1，且無水躍，故取與上游連續之亞臨界根。V_C=q/y_C=1.5/1.816=0.826 m/s。 四、水面線：A 點水深1.5 m，水面高程（以A渠底為0）1.5 m；進入凹陷後渠底下降，水深增至C點1.816 m，水面高程為-0.3+1.816=1.516 m，較A、E略高約0.016 m（亞臨界流越過凹槽時，水深增加略大於渠底下降）；由C至D渠底回升，水深漸減，至E回復1.5 m、流速1.0 m/s。繪圖時將渠底畫成深0.3 m之凹槽，水面線在凹槽上方呈極平緩之隆起，並標A、B、C、D、E。 五、檢核與限制：C 點 Fr_C=V_C/√(g y_C)=0.826/√(17.82)=0.196<1，確為亞臨界；能量線（EGL）水平，水面線與能量線間距為流速水頭。若凹槽更深或 q 更大，可能使 C 點達臨界而發生壅水（choking），此時亞臨界解不存在，須以臨界控制重新計算；本題0.3 m尚未致壅。
擬規劃進行一條渠道的水工模型試驗，模型（Model）渠道與實體（Proto
type）渠道的渠床坡度相同，但它們的長度的比例為1/100。試依據水流
福祿數（Froude number）相似律原理及曼寧流速公式，推求此模型渠道
與實體渠道在流速方面及曼寧粗糙係數方面的個別比例，並以模型渠道
流速0.15 m/s 及曼寧粗糙係數n 為0.012 為例，計算出對應於實體渠道
的流速及曼寧粗糙係數。（25 分）
A
B
C
D
E
0.3 m
參考解答（AI 生成，非官方） 一、相似律：令原型為 p、模型為 m，長度比 L_r=L_m/L_p=1/100；因渠床坡度相同且採幾何相似（未變形），水深與水力半徑均按 L_r 縮放，坡度比 S_r=1。福祿數（Froude number）相似要求慣性力與重力之比相同，即 Fr_m=Fr_p，故流速比 V_r=V_m/V_p=√(L_r)=√(1/100)=1/10。 二、曼寧推導：曼寧流速公式 V=(1/n)R^{2/3}S^{1/2}。取模型與原型比值，V_r=(n_p/n_m)(R_r)^{2/3}(S_r)^{1/2}；因 R_r=L_r、S_r=1，得 V_r=(n_p/n_m)L_r^{2/3}。與 Froude 之 V_r=L_r^{1/2} 相等，故 n_p/n_m=L_r^{1/2-2/3}=L_r^{-1/6}，亦即 n_r=n_m/n_p=L_r^{1/6}。 三、數值比例：L_r=0.01，V_r=0.1，故原型流速 V_p=V_m/V_r=0.15/0.1=1.5 m/s；n_r=(0.01)^{1/6}=10^{-1/3}=0.4642，原型曼寧 n_p=n_m/n_r=0.012/0.4642=0.02585，約0.0259。亦即模型流速為原型之1/10，模型 n 為原型之0.464倍，原型 n 約為模型之2.154倍。 四、意義與限制：模型縮小100倍時，為滿足 Froude 相似，模型流速僅原型之0.1倍；模型必須使用較光滑材料（n較小），否則黏滯力與雷諾數效應會使相似律失真。推求假設 g 相同、坡度不變、斷面均勻且為完全粗糙紊流；若採變形模型（垂直與水平比不同），R_r 與 S_r 需另計，不能直接套用 L_r^{1/6}。 五、延伸檢核：由 Froude 相似可得時間比 T_r=√L_r=0.1、流量比 Q_r=L_r^{2.5}=10^{-5}；若模型 n=0.012，對應原型 n≈0.0259，落在混凝土渠道常見範圍，可作選材參考。計算時應使用同一單位制並保持 S0 相同；若模型粗糙度無法達到0.012，須以比尺修正或改用其他相似律。
已知有一條寬度很大的直線矩形渠道，渠床坡度S0=0.0009，曼寧粗糙
係數n=0.014。渠道中設有一座橫跨渠道高度為0.8 m 的梯形平台，如
圖2 所示。當此渠道單位寬度流量q=3.0 cms 時，試推求此渠流的正常
水深hn（Normal depth）及臨界水深hc（Critical depth），並在忽略梯形平
台能量損失條件下推估梯形平台上游水深h1及其下游之水深h2。（25 分）
圖2 渠流經過梯形平台示意圖
normal
GVF
RVF
GVF
normal
hydraulic
jump
hn
h1
hc
h2
參考解答（AI 生成，非官方） 一、正常水深：寬淺矩形渠可令水力半徑 R≈h，曼寧式 q=(1/n)h^{5/3}S0^{1/2}，故 h_n=(q n/√S0)^{3/5}。代入 q=3.0 m²/s、n=0.014、S0=0.0009、√S0=0.03，得 qn/√S0=3×0.014/0.03=1.40，h_n=1.40^{0.6}=1.224 m。 二、臨界水深與壅水判定：臨界水深 h_c=(q²/g)^{1/3}=(9/9.81)^{1/3}=0.9715 m，最小比能 E_min=1.5h_c=1.457 m。正常水深時比能 E_n=h_n+q²/(2g h_n²)=1.224+9/(19.62×1.497)=1.530 m；平台高 Δz=0.8 m，若維持正常水深，越過平台所需 E_n-Δz=0.730 m，小於 E_min，故平台造成壅水（choking）；在平台頂長度足夠之前提下，平台頂應為臨界流。 三、上游水深 h1：以平台頂臨界流控制，平台上游坡腳處比能 E1=E_min+Δz=1.457+0.8=2.257 m。解 h1+q²/(2g h1²)=2.257，即 h1+0.4587/h1²=2.257，得亞臨界根 h1≈2.159 m（另一根0.513 m為超臨界）。上游流速 V1=q/h1=3/2.159=1.39 m/s，Fr1=1.39/√(9.81×2.159)=0.30<1，符合上游亞臨界銜接。 四、下游水深 h2：平台下游渠底回復原高程，若不計平台損失，下游比能 E2=E1=2.257 m；解 h2+0.4587/h2²=2.257，取平台頂臨界後下坡加速之超臨界根 h2≈0.513 m，V2=3/0.513=5.85 m/s，Fr2=5.85/√(9.81×0.513)=2.61>1。此即平台下游坡腳、水躍前之水深；若題意將 h2 定義為跳後尾水，則以動量函數求共軛水深約1.65 m，水躍位置需另由動量與尾水控制判定。 五、水面線與繪圖：上游為正常水深1.224 m，接近平台因壅水形成 GVF（漸變流，M1 背水）段，水深升至 h1=2.159 m；平台頂為 RVF（急變流）臨界控制，h_c=0.971 m；下游坡面轉為超臨界，至坡腳 h2=0.513 m，隨後發生水躍（hydraulic jump），跳後水深約1.65 m，再以 GVF 漸變至下游正常水深1.224 m。繪圖時將平台畫成高0.8 m之梯形凸台，依序標 normal（正常水深）、GVF、RVF、hydraulic jump、normal，並標 h_n、h1、h_c、h2、渠底線、水面線與能量線。