已知有一條寬度很大的直線矩形渠道，渠床坡度S0=0.0009，曼寧粗糙 係數n=0.014。渠道中設有一座橫跨渠道高度為0.8 m 的梯形平台，如 圖2 所示。…

題目

已知有一條寬度很大的直線矩形渠道，渠床坡度S0=0.0009，曼寧粗糙 係數n=0.014。渠道中設有一座橫跨渠道高度為0.8 m 的梯形平台，如 圖2 所示。當此渠道單位寬度流量q=3.0 cms 時，試推求此渠流的正常 水深hn（Normal depth）及臨界水深hc（Critical depth），並在忽略梯形平 台能量損失條件下推估梯形平台上游水深h1及其下游之水深h2。（25 分） 圖2 渠流經過梯形平台示意圖 normal GVF RVF GVF normal hydraulic jump hn h1 hc h2

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、正常水深：寬淺矩形渠可令水力半徑 R≈h，曼寧式 q=(1/n)h^{5/3}S0^{1/2}，故 h_n=(q n/√S0)^{3/5}。代入 q=3.0 m²/s、n=0.014、S0=0.0009、√S0=0.03，得 qn/√S0=3×0.014/0.03=1.40，h_n=1.40^{0.6}=1.224 m。
• 二、臨界水深與壅水判定：臨界水深 h_c=(q²/g)^{1/3}=(9/9.81)^{1/3}=0.9715 m，最小比能 E_min=1.5h_c=1.457 m。正常水深時比能 E_n=h_n+q²/(2g h_n²)=1.224+9/(19.62×1.497)=1.530 m；平台高 Δz=0.8 m，若維持正常水深，越過平台所需 E_n-Δz=0.730 m，小於 E_min，故平台造成壅水（choking）；在平台頂長度足夠之前提下，平台頂應為臨界流。
• 三、上游水深 h1：以平台頂臨界流控制，平台上游坡腳處比能 E1=E_min+Δz=1.457+0.8=2.257 m。解 h1+q²/(2g h1²)=2.257，即 h1+0.4587/h1²=2.257，得亞臨界根 h1≈2.159 m（另一根0.513 m為超臨界）。上游流速 V1=q/h1=3/2.159=1.39 m/s，Fr1=1.39/√(9.81×2.159)=0.30<1，符合上游亞臨界銜接。
• 四、下游水深 h2：平台下游渠底回復原高程，若不計平台損失，下游比能 E2=E1=2.257 m；解 h2+0.4587/h2²=2.257，取平台頂臨界後下坡加速之超臨界根 h2≈0.513 m，V2=3/0.513=5.85 m/s，Fr2=5.85/√(9.81×0.513)=2.61>1。此即平台下游坡腳、水躍前之水深；若題意將 h2 定義為跳後尾水，則以動量函數求共軛水深約1.65 m，水躍位置需另由動量與尾水控制判定。
• 五、水面線與繪圖：上游為正常水深1.224 m，接近平台因壅水形成 GVF（漸變流，M1 背水）段，水深升至 h1=2.159 m；平台頂為 RVF（急變流）臨界控制，h_c=0.971 m；下游坡面轉為超臨界，至坡腳 h2=0.513 m，隨後發生水躍（hydraulic jump），跳後水深約1.65 m，再以 GVF 漸變至下游正常水深1.224 m。繪圖時將平台畫成高0.8 m之梯形凸台，依序標 normal（正常水深）、GVF、RVF、hydraulic jump、normal，並標 h_n、h1、h_c、h2、渠底線、水面線與能量線。

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