擬規劃進行一條渠道的水工模型試驗，模型（Model）渠道與實體（Proto type）渠道的渠床坡度相同，但它們的長度的比例為1/100。試依據水流 福祿數（F…

題目

擬規劃進行一條渠道的水工模型試驗，模型（Model）渠道與實體（Proto type）渠道的渠床坡度相同，但它們的長度的比例為1/100。試依據水流 福祿數（Froude number）相似律原理及曼寧流速公式，推求此模型渠道 與實體渠道在流速方面及曼寧粗糙係數方面的個別比例，並以模型渠道 流速0.15 m/s 及曼寧粗糙係數n 為0.012 為例，計算出對應於實體渠道 的流速及曼寧粗糙係數。（25 分） A B C D E 0.3 m

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、相似律：令原型為 p、模型為 m，長度比 L_r=L_m/L_p=1/100；因渠床坡度相同且採幾何相似（未變形），水深與水力半徑均按 L_r 縮放，坡度比 S_r=1。福祿數（Froude number）相似要求慣性力與重力之比相同，即 Fr_m=Fr_p，故流速比 V_r=V_m/V_p=√(L_r)=√(1/100)=1/10。
• 二、曼寧推導：曼寧流速公式 V=(1/n)R^{2/3}S^{1/2}。取模型與原型比值，V_r=(n_p/n_m)(R_r)^{2/3}(S_r)^{1/2}；因 R_r=L_r、S_r=1，得 V_r=(n_p/n_m)L_r^{2/3}。與 Froude 之 V_r=L_r^{1/2} 相等，故 n_p/n_m=L_r^{1/2-2/3}=L_r^{-1/6}，亦即 n_r=n_m/n_p=L_r^{1/6}。
• 三、數值比例：L_r=0.01，V_r=0.1，故原型流速 V_p=V_m/V_r=0.15/0.1=1.5 m/s；n_r=(0.01)^{1/6}=10^{-1/3}=0.4642，原型曼寧 n_p=n_m/n_r=0.012/0.4642=0.02585，約0.0259。亦即模型流速為原型之1/10，模型 n 為原型之0.464倍，原型 n 約為模型之2.154倍。
• 四、意義與限制：模型縮小100倍時，為滿足 Froude 相似，模型流速僅原型之0.1倍；模型必須使用較光滑材料（n較小），否則黏滯力與雷諾數效應會使相似律失真。推求假設 g 相同、坡度不變、斷面均勻且為完全粗糙紊流；若採變形模型（垂直與水平比不同），R_r 與 S_r 需另計，不能直接套用 L_r^{1/6}。
• 五、延伸檢核：由 Froude 相似可得時間比 T_r=√L_r=0.1、流量比 Q_r=L_r^{2.5}=10^{-5}；若模型 n=0.012，對應原型 n≈0.0259，落在混凝土渠道常見範圍，可作選材參考。計算時應使用同一單位制並保持 S0 相同；若模型粗糙度無法達到0.012，須以比尺修正或改用其他相似律。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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