民國115年 高考三級 測量製圖 誤差理論及實務
第1題
已知測距精度為3 cm+20 ppm，測量一條邊長10 次，計算得平均值為 500.000 公尺，試問該平均值的標準差為何？又已知該邊長的真實長度 為500.0…
題目
已知測距精度為3 cm+20 ppm，測量一條邊長10 次，計算得平均值為 500.000 公尺，試問該平均值的標準差為何？又已知該邊長的真實長度 為500.050 公尺，請問該次測量的相對精度為何？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、精度模式：3 cm＋20 ppm 可寫成 σ_D＝a＋bD，a＝0.03 m、b＝20×10⁻⁶。以 D＝500 m 代入，bD＝0.010 m，故單次測距標準差 σ_D＝0.03＋0.01＝0.04 m。此處假設各次觀測獨立同精度，且儀器規格可視為 1σ；若改採方差合成 √(0.03²＋0.01²)＝0.0316 m，須先說明假設。
- 二、平均值標準差：10 次獨立等精度觀測之平均值標準差為 σ_x̄＝σ_D／√n＝0.04／√10＝0.01265 m，約 1.26 cm。若採上述方差合成值，則約為 1.00 cm。此值反映平均值的內在精度（precision），隨觀測次數增加而減小；但僅能描述隨機誤差，不能反映尺度誤差或系統偏差。
- 三、相對精度：以真實長度檢核，觀測偏差 d＝500.000－500.050＝－0.050 m，絕對值 5 cm。相對精度（相對誤差）為 |d|／L_true＝0.050／500.050≒1.00×10⁻⁴，即 100 ppm，約 1/10,000；若以 500 m 為分母亦得 1/10,000。此為外部精度或準確度（accuracy），與平均值標準差之內部精度不同。
- 四、判讀與答題：平均值標準差 1.26 cm 屬隨機誤差；5 cm 偏差約為其 4 倍，已超過 3σ 門檻，顯示可能有尺度誤差、稜鏡常數、氣象改正或對點等系統誤差，不能全歸因於隨機誤差。若題意係問「平均值之相對精度」，則為 0.01265／500≒2.5×10⁻⁵，約 1/39,500（25 ppm）；考生應先界定相對精度之定義再作答。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。