民國115年 高考三級 測量製圖 誤差理論及實務考古題
民國115年 高考三級 測量製圖 誤差理論及實務收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
已知測距精度為3 cm+20 ppm，測量一條邊長10 次，計算得平均值為
500.000 公尺，試問該平均值的標準差為何？又已知該邊長的真實長度
為500.050 公尺，請問該次測量的相對精度為何？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、精度模式：3 cm＋20 ppm 可寫成 σ_D＝a＋bD，a＝0.03 m、b＝20×10⁻⁶。以 D＝500 m 代入，bD＝0.010 m，故單次測距標準差 σ_D＝0.03＋0.01＝0.04 m。此處假設各次觀測獨立同精度，且儀器規格可視為 1σ；若改採方差合成 √(0.03²＋0.01²)＝0.0316 m，須先說明假設。
- 二、平均值標準差：10 次獨立等精度觀測之平均值標準差為 σ_x̄＝σ_D／√n＝0.04／√10＝0.01265 m，約 1.26 cm。若採上述方差合成值，則約為 1.00 cm。此值反映平均值的內在精度（precision），隨觀測次數增加而減小；但僅能描述隨機誤差，不能反映尺度誤差或系統偏差。
- 三、相對精度：以真實長度檢核，觀測偏差 d＝500.000－500.050＝－0.050 m，絕對值 5 cm。相對精度（相對誤差）為 |d|／L_true＝0.050／500.050≒1.00×10⁻⁴，即 100 ppm，約 1/10,000；若以 500 m 為分母亦得 1/10,000。此為外部精度或準確度（accuracy），與平均值標準差之內部精度不同。
- 四、判讀與答題：平均值標準差 1.26 cm 屬隨機誤差；5 cm 偏差約為其 4 倍，已超過 3σ 門檻，顯示可能有尺度誤差、稜鏡常數、氣象改正或對點等系統誤差，不能全歸因於隨機誤差。若題意係問「平均值之相對精度」，則為 0.01265／500≒2.5×10⁻⁵，約 1/39,500（25 ppm）；考生應先界定相對精度之定義再作答。
基本的測量平差模型可概分為五種平差模型，請試舉其中三種平差模
型，並說明這三種平差模型中，函數模型和隨機模型各為何？它們的函
數模型有何特性？又它們的後驗單位權標準差計算式各為何？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、間接平差（parametric adjustment）：函數模型為 L＋V＝AX（或 V＝AX－l），A 為 n×u 設計矩陣，X 為未知參數，A 須滿秩（秩為 u）。隨機模型為 D(L)＝σ₀²Q＝σ₀²P⁻¹，E(V)＝0。其特性是每一觀測量皆表為參數函數，觀測方程數等於 n，適合水準、導線與 GNSS 網；後驗單位權標準差 σ̂₀＝√(VᵀPV／(n－u))。
- 二、條件平差（condition adjustment）：函數模型為 AV＋W＝0，A 為 c×n 條件係數矩陣，W 為閉合差，c 為獨立條件數；隨機模型為 D(L)＝σ₀²Q、E(V)＝0。特性是不設顯式參數，直接由圖形幾何或物理條件（如三角形內角和、水準環閉合）建立條件方程，c＝r＝n－u；後驗單位權標準差 σ̂₀＝√(VᵀPV／c)。
- 三、條件間接平差（combined adjustment）：函數模型為 AV＋BX＋W＝0，A、B 分別為改正數與參數係數矩陣，W 為閉合差；隨機模型為 D(L)＝σ₀²Q、E(V)＝0，X 為非隨機參數。特性是同時含條件與參數，為前兩者的一般化，可處理已知點約束、幾何條件及聯合觀測。後驗 σ̂₀＝√(VᵀPV／r)，r 為多餘觀測數；以獨立條件數 c 與參數數 u 表示時 r＝c－u，當 c＝n 時即 r＝n－u。
- 四、三者關係與答題要點：條件平差是「無參數、有條件」；間接平差是「有參數、無條件」；條件間接平差則是「有參數、有條件」的一般化模型。三者隨機模型均以 D(L)＝σ₀²P⁻¹ 表達觀測量的精度與權比例，差別在函數模型及多餘觀測數 r 的計算。答題時應寫出矩陣維度、秩條件與獨立條件數，並以 σ̂₀＝√(VᵀPV／r) 統一表示。
請說明點位誤差橢圓和點位間相對誤差橢圓的意義，以及如何由點位誤
差橢圓求得點位間相對誤差橢圓。又點位誤差橢圓為圓時，表示何種意
義？此時點位在x-方向和y-方向誤差的相關性為何？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、點位誤差橢圓的意義：點位誤差橢圓（point error ellipse）是點位坐標誤差之聯合機率等值線，由坐標協方差矩陣 Σ＝[[σ_x², σ_xy], [σ_xy, σ_y²]] 決定。橢圓中心為平差後點位，主軸方向為誤差最大與最小方向，半軸長為特徵值平方根 √λ₁、√λ₂（標準橢圓取 1σ；95% 橢圓約乘 2.447）。它描述該點相對於基準的絕對精度與方向性。
- 二、相對誤差橢圓的意義：點位間相對誤差橢圓（relative error ellipse）描述兩點相對位置向量 ΔX＝X_j－X_i 的不確定性，其協方差為 Σ_Δ＝Σ_j＋Σ_i－Σ_ij－Σ_ji；若兩點獨立或忽略相關，則 Σ_Δ＝Σ_i＋Σ_j。橢圓中心可置於 j 點（或基線中點），半軸表示基線長度與方向之相對精度，與基準選擇無關，常用於網形相對精度、變形與施工放樣檢核。
- 三、由點位橢圓求相對橢圓：先由各點橢圓之半軸 σ₁、σ₂ 與方位角 θ，重組 Σ＝R diag(σ₁², σ₂²) Rᵀ，R 為旋轉矩陣；再依 Σ_Δ＝Σ_i＋Σ_j（必要時加交互協方差）合成。對 Σ_Δ 作特徵分解，特徵值 λ₁、λ₂ 之平方根即相對橢圓半軸，方位角 θ_Δ＝½ atan2(2Σ_xy, Σ_xx－Σ_yy)。最後將橢圓繪於基線端點並標註半軸與方位。
- 四、橢圓為圓的意義：當 σ_x＝σ_y 且 σ_xy＝0 時，Σ 為純量矩陣，λ₁＝λ₂，誤差橢圓退化為圓；表示點位誤差在各方向相同（等向性），沒有明顯的優勢方向。此時 x 方向與 y 方向誤差之相關係數 ρ＝σ_xy／(σ_xσ_y)＝0，若誤差服從常態分布，兩者互相獨立。圓半徑為各方向之標準差 σ；若以點位中誤差表示，則為 √2σ。圓形不代表沒有誤差，只代表誤差大小不隨方向改變。
- 五、判讀提醒：圓形橢圓只表示等向精度，並不表示精度高或無系統誤差；仍須以半徑大小判定精度。又若 σ_x＝σ_y 但 σ_xy≠0，協方差矩陣非純量，橢圓仍為傾斜之橢圓而非圓，相關係數亦不為零。考生繪圖時應標出中心、長短軸、方位角及置信水準，並註明點位橢圓與相對橢圓之基準差異。
測量控制網平差一般分成兩個階段。第一階段為自由網平差或最小約制
平差。假設在第一階段平差已進行觀測量的粗差偵測、系統誤差處理，
最後並釐定觀測量的精度或它們之間的權比例關係。第二階段平差主要
是應用第一階段的成果，並引入已知點資料，實施進一步的平差計算。
請問第二階段平差的目的為何？又在第二階段平差時，若沒有再進行觀
測量精度或權的釐定之情況，而平差後的後驗單位權標準差和第一階段
平差所得的後驗單位權標準差沒有顯著的差異，則表示的意義為何？若
有顯著差異，又表示何種意義？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、第二階段平差的目的：第一階段自由網平差（free network adjustment）或最小約制平差只固定必要之基準，保留網形幾何，主要用於粗差偵測、系統誤差處理及權比例釐定。第二階段則引入已知點坐標或基準約束，消除秩虧（rank deficiency），將自由網解轉換至指定坐標系統，求得最終絕對坐標與精度，並檢核新觀測網與既有控制點之一致性，作為製圖、GIS 與工程設計之依據。
- 二、統計檢定方法：第二階段若不再重新釐定權，應以第一階段之後驗單位權標準差 σ̂₀,1 與第二階段 σ̂₀,2 作變異數比檢定。設 H₀：σ₀,1²＝σ₀,2²，統計量 F＝σ̂₀,2²／σ̂₀,1²，自由度 ν₂＝n₂－u₂、ν₁＝n₁－u₁；在顯著水準 α 下，若 F 介於 F_(α/2,ν₂,ν₁) 與 F_(1－α/2,ν₂,ν₁) 之間，則不拒絕 H₀。
- 三、無顯著差異的意義：表示第二階段所用之隨機模型與第一階段相容，觀測量權比例及單位權方差設定適當；已知點坐標與新觀測網沒有明顯矛盾，未檢出足以改變方差因子的系統誤差、粗差或基準變形。此時第二階段平差結果可視為可靠，第一階段所得精度可用於後續精度評估，且引入已知點並未造成網形顯著扭曲。
- 四、有顯著差異的意義：表示函數模型或隨機模型與資料不相容。可能原因包括已知點坐標有誤、不同期基準或坐標系統轉換誤差、已知點與新網間有變形、觀測量仍有系統誤差或未偵測之粗差、權比例或先驗單位權方差設定不當，以及約束過強造成網形扭曲。若 σ̂₀,2 顯著大於 σ̂₀,1，通常指向已知點不相容、約束扭曲或殘留系統誤差；若顯著較小，則可能是先驗單位權方差設定偏大、兩階段冗餘度不同，或第二階段網形過度擬合，仍須綜合殘差判斷。
- 五、後續處理建議：可先檢查標準化殘差與已知點閉合差，輔以穩健估計（robust estimation）、方差分量估計（variance component estimation）或 data snooping 找出異常；再考慮剔除或降權可疑已知點、改用加權約束、重新釐定權比例，或將已知點視為觀測量一併平差。若確認基準本身有變形，應先更新基準或分區處理，不宜直接採用固定約束。