在室溫300 K 時，摻雜雜質完全解離的情況下，若在某矽半導體試片中 僅摻雜濃度等於 D N 的施體。請回答以下子題： 若此試片中的電子濃度與電洞濃度分別以n…

題目

在室溫300 K 時，摻雜雜質完全解離的情況下，若在某矽半導體試片中 僅摻雜濃度等於 D N 的施體。請回答以下子題： 若此試片中的電子濃度與電洞濃度分別以n 與p 表示，以及本質載子 濃度以 in 表示。請用數學式子分別表示此矽半導體之電中性（charge neutrality）與質量作用定律（mass-action law），並說明其意義？（10 分） 如果此試片中的電洞濃度等於 5 10 cm 、 5 10 cm 或 1.5 10 cm ，試計算摻雜濃度 D N 分別等於多少？已知電子電荷 1.6 10 C q 與本質載子濃度 1.5 10 cm in 。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、電中性條件（charge neutrality）：在完全解離的假設下，施體全部游離（N_D+ = N_D），且沒有受體；因此區域內的淨電荷密度必須為零，即 ρ = q(p − n + N_D) = 0，化簡後得到 n = p + N_D。這條式子的意義是：半導體內部不得累積淨電荷，否則會建立電場，驅使載子重新分布，直到漂移與擴散達成平衡；同時也顯示電子主要由施體提供，而電洞帶負電，會抵消一部分正電荷。
• 二、質量作用定律（mass-action law）：在熱平衡下 np = n_i^2。其意義是電子電洞對的產生率等於復合率，乘積只由溫度與能隙決定（n_i^2 正比於 T^3 exp(−E_g/kT)），與摻雜濃度無關；摻雜只改變電子與電洞的分配比例，多數載子增加時，少數載子便等比例減少。
• 三、聯立求解：將 p = n_i^2/n 代入電中性式，得 n^2 − N_D n − n_i^2 = 0，故 n = [N_D + (N_D^2 + 4n_i^2)^(1/2)]/2、p = [−N_D + (N_D^2 + 4n_i^2)^(1/2)]/2。當 N_D >> n_i 時可近似為 n ≈ N_D、p ≈ n_i^2/N_D，這就是常用的「多數載子濃度約等於摻雜濃度」判定準則。
• 四、由電洞濃度反推摻雜濃度：N_D = n − p = n_i^2/p − p。以 n_i = 1.5×10^10 cm^-3（n_i^2 = 2.25×10^20 cm^-6）為例，若 p = 5×10^9 cm^-3，則 N_D = 4.5×10^10 − 5×10^9 = 4.0×10^10 cm^-3；若 p 趨近 n_i，則 N_D 趨近零（本質情形），且 p 不可能大於 n_i，否則必須改以受體摻雜的模型描述。
• 五、資料缺漏與作答要領：題幹中三個電洞濃度的指數在試卷上無法辨識，因此無法得出唯一的數值。考生應先寫出 N_D = n_i^2/p − p，再依序代入三個 p 值，並檢查 p < n_i 且 N_D > 0 是否合理；當 p << n_i 時可直接用 N_D ≈ n_i^2/p，其誤差量級約為 p/n_i。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

• 官方試題 PDF