在室溫300 K 時，電子的擴散係數 35 cm /s n D 與遷移率 1350 cm /V-s n 。考慮某n 型矽半導體在 x 處的電子濃度分布可表 示為…

題目

在室溫300 K 時，電子的擴散係數 35 cm /s n D 與遷移率 1350 cm /V-s n 。考慮某n 型矽半導體在 x 處的電子濃度分布可表 示為 / ( ) 5 10 cm n x L n x e ，其中 2 10 cm n L 。另外，在此半導體還 存在一個 x 方向的固定電場 150 V/cm E 。已知電子電荷 19 C 1.6 10 q ；波茲曼常數 8.62 10 eV/K k ；本質載子濃度 1.5 10 cm in 。請回答以下子題： 寫出愛因斯坦關係式（Einstein relation），及說明此關係式之物理意 義？（5 分） 計算在 x 處電子的漂移電流密度（drift current density）大小？（10 分） 計算在 x 處電子的擴散電流密度（diffusion current density）大小？ （10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、愛因斯坦關係式（Einstein relation）：D_n/μ_n = D_p/μ_p = kT/q。物理意義在於擴散與漂移並非彼此獨立的現象，兩者同樣源自載子的熱運動與晶格散射，因此擴散係數與遷移率只相差一個熱電壓因子 kT/q（室溫約 0.0259 V）。以題目給定的數值驗算：D_n = μ_n kT/q = 1350 × 0.0259 ≈ 35 cm^2/s，與題目相符，表示參數彼此自洽。
• 二、漂移電流密度：J_n,drift = q n(x) μ_n E，其方向沿 +x 電場，而電子實際漂移的方向為 −x。代入後可得 J_n,drift = 1.6×10^-19 × n(x) × 1350 × 150 = 3.24×10^-13 × n(x) A/cm^2。由於 n(x) 隨位置指數衰減，漂移電流也隨 x 衰減；在 x = 0 處必須代入題目給定的表面濃度 n(0)，才能算出數值。
• 三、擴散電流密度：J_n,diff = q D_n dn/dx。由 n(x) = n(0)e^(−x/L_n) 可得 dn/dx = −(n(0)/L_n)e^(−x/L_n)，故 J_n,diff = −(q D_n n(0)/L_n)e^(−x/L_n)。因為 dn/dx < 0，擴散電流的方向為 −x（電子往 +x 擴散），與漂移電流的方向相反；其大小為 q D_n n(0)/L_n。若以 n(0) = 5×10^16 cm^-3、L_n = 2×10^-4 cm 試算，濃度梯度為 2.5×10^20 cm^-4，J ≈ 1.6×10^-19 × 35 × 2.5×10^20 ≈ 1.4×10^3 A/cm^2。
• 四、淨電流與方向判別：J_n = q μ_n n E + q D_n dn/dx，兩項方向相反，會部分抵消，故淨電流可能為正、為負或為零，須比較兩項大小。作答時應先標明電場與濃度梯度的正負號，再判斷電子漂移、電子擴散與 conventional current（慣例電流）三者的方向，這是本題最容易失分的地方。
• 五、資料缺漏說明：題幹中 n(0) 與 L_n 的指數無法辨識，因此漂移與擴散電流都無法得出唯一數值，只能給出符號式與比例關係。建議寫成 J_drift = 3.24×10^-13 × n(0) A/cm^2、J_diff = 5.6×10^-18 × n(0)/L_n A/cm^2，並註明當 n(0)/L_n 與 n(0)E 的比值改變時，淨電流的方向可能反轉。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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