民國115年 高考三級 電信工程 通信與系統
第1題
若n 表示為整數，t 表示為實數。判斷下列訊號是否為週期訊號；若是， 求其基本週期。 [ ] (2 3 /8) /4 x n cos n sin n 。（6 分…
題目
若n 表示為整數，t 表示為實數。判斷下列訊號是否為週期訊號；若是， 求其基本週期。 [ ] (2 3 /8) /4 x n cos n sin n 。（6 分） ( ) (200 ) (300 ) x t cos t sin t 。（6 分） ( ) (2 ) (2 2 ) x t cos t cos t 。（6 分） ( ) (4 ) (6 ) x t cos t sin t 。（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、判斷準則：連續時間訊號 x(t)=ΣA_i cos(2πf_i t+θ_i)，若各頻率之比 f_i/f_j 皆為有理數，則為週期訊號，其基本週期為各分量週期 T_i=1/f_i 的最小共同整數倍；離散時間訊號 x[n]=cos(ωn) 之週期條件為 ω/2π 為有理數，寫成最簡分數 k/N 時基本週期為 N，多分量時取各 N_i 的最小公倍數（LCM）。
- 二、第(1)小題：依題面判讀 x[n]=cos(2πn/3)+sin(πn/4)。第一項 ω/2π=1/3，故 N1=3；第二項 ω/2π=(π/4)/2π=1/8，故 N2=8。兩者皆為有理數，故為週期訊號，N=LCM(3,8)=24，即 x[n+24]=x[n]。若題面第二項實為 sin(πn/8)，則 N2=16、合成週期為 48，判定步驟完全相同。
- 三、第(2)小題：x(t)=cos(200πt)+sin(300πt)，f1=100 Hz、f2=150 Hz，T1=0.01 s、T2=1/150 s。由 mT1=nT2 得 3m=2n，取最小整數 m=2、n=3，得 T=2/100=1/50 s=0.02 s（即 50 Hz），故為週期訊號。
- 四、第(3)小題：x(t)=cos(2πt)+cos(2π√2 t)，兩頻率 1 Hz 與 √2 Hz 之比為無理數，找不到共同整期，故為非週期訊號（屬幾乎週期 almost periodic 訊號），波形不會完全重複，僅近似重現。
- 五、第(4)小題：x(t)=cos(4πt)+sin(6πt)，f1=2 Hz、f2=3 Hz，T1=1/2 s、T2=1/3 s，比值 3:2 為有理數。由 m/2=n/3 得 3m=2n，最小 m=2、n=3，T=1 s，故為週期訊號，基本週期 1 秒、基本頻率 1 Hz。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。