民國115年 高考三級 電信工程 通信與系統
第2題
系統 1S 定義為( ) 3 ( ) 2 ( 1) y t x t x t 。請判斷 1S 是否為線性系統，並敘 明理由。（8 分） 系統 S 定義為( ) (…
題目
系統 1S 定義為( ) 3 ( ) 2 ( 1) y t x t x t 。請判斷 1S 是否為線性系統，並敘 明理由。（8 分） 系統 S 定義為( ) (2 ) y t x t 。請判斷 S 是否為非時變系統，並敘明理由。 （8 分） 系統 S 定義為( ) ( 1) y t x t 。請判斷 S 是否為因果（causal）系統，並 敘明理由。（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、線性（linearity）之判準：系統須同時滿足疊加原理與齊次性，即 S{a x1(t)+b x2(t)}=a S{x1(t)}+b S{x2(t)}；只要找到一組反例即可否定線性。
- 二、S1：y(t)=3x(t)+2x(t-1) 為線性系統。令輸入為 a x1+b x2，則輸出為 3[a x1(t)+b x2(t)]+2[a x1(t-1)+b x2(t-1)]=a[3x1(t)+2x1(t-1)]+b[3x2(t)+2x2(t-1)]=a y1(t)+b y2(t)，符合疊加與齊次；係數為常數，運算僅為加法與平移，故屬線性非時變（LTI）系統，並具有記憶。
- 三、S：y(t)=x(2t) 為時變（time-variant）系統。檢驗：輸入延遲 x1(t)=x(t−t0)，輸出 y1(t)=x(2t−t0)；而原輸出延遲 y(t−t0)=x(2(t−t0))=x(2t−2t0)。兩者不相等（僅 t0=0 時成立），故不滿足非時變性；此為時間壓縮，會使波形時間尺度改變，頻譜隨之展寬。
- 四、S：y(t)=x(t−1) 為因果（causal）系統。因果性要求任一時刻 t 之輸出僅取決於 t 及以前之輸入；本系統輸出取用 x(t−1)，屬過去值，不需未來輸入，故符合因果性，且具有記憶（memory）。
- 五、補充與對照：若題面為 y(t)=x(t+1)，輸出需用未來輸入 x(t+1)，則屬非因果系統，實作上須加入延遲或改用可實現近似。另因果性與時變性為彼此獨立之性質，答題時應分別以定義式推導，並寫出反例或完整算式以取得全部配分。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。