民國115年 高考三級 機械工程 機械設計
第1題
圖中有一直徑為D = 25 mm 的金屬圓棒固定在牆上，於y = L1 = 300 mm 處有另一直徑為d = 15 mm 的圓柱型把手。假設把手的剛性遠大於金…
題目
圖中有一直徑為D = 25 mm 的金屬圓棒固定在牆上，於y = L1 = 300 mm 處有另一直徑為d = 15 mm 的圓柱型把手。假設把手的剛性遠大於金屬 圓棒，不需要考慮其材料變形的問題。於把手末端C 處（z = L2 = 200 mm） 施予一朝向負x 方向的外力F = 1500 N，試問在金屬圓棒A 處『分析位 置』： 第一主應力S1 有多大？（6 分） 第二主應力S2 有多大？（6 分） 最大剪應力τmax 有多大？（6 分） 若材料的蒲松比（Poisson’s Ratio）為0.4，基於最大應變能（Maximum Strain Energy）模型，若希望達到安全係數1.2，請問金屬圓棒的降伏 強度至少要多大？（7 分） （註：作答請明確標示單位）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、取 A 為固定端圓棒外緣受最大彎曲應力且同時受扭轉剪應力之點。斷面直徑 D=25 mm，c=12.5 mm，I=πD⁴/64=1.917×10⁴ mm⁴，J=2I=3.835×10⁴ mm⁴。固定端內力：彎矩 M=F L1=1500×300=4.50×10⁵ N·mm，扭矩 T=F L2=1500×200=3.00×10⁵ N·mm，剪力 V=1500 N。
- 二、彎曲正向應力 σ=Mc/I=4.50×10⁵×12.5/1.917×10⁴=293.4 MPa（取 A 點為拉應力側）；扭轉剪應力 τ=Tc/J=3.00×10⁵×12.5/3.835×10⁴=97.8 MPa。平面應力元素之平均應力 σavg=146.7 MPa，莫耳圓半徑 R=√[(146.7)²+(97.8)²]=176.3 MPa。
- 三、第一主應力 S1=σavg+R=146.7+176.3=323.0 MPa；第二主應力 S2=σavg−R=146.7−176.3=−29.6 MPa；第三主應力 S3=0。最大剪應力 τmax=R=(S1−S2)/2=176.3 MPa。
- 四、最大應變能模型之等效應力 σE=√[S1²+S2²−2νS1S2]=√[323.0²+(−29.6)²−2×0.4×323.0×(−29.6)]=335.9 MPa。安全係數 n=Sy/σE=1.2，故 Sy=1.2×335.9=403.1 MPa，至少約 403 MPa。
- 五、上述結果以 A 在彎曲外緣、無應力集中為前提；若 A 在壓應力側，S1 與 S2 對調，但 τmax 與所需 Sy 不變。若採 von Mises 失真能模型，等效應力約 338.7 MPa、Sy 約 406 MPa，可作比較。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。