民國115年 高考三級 機械工程 機械設計考古題
民國115年 高考三級 機械工程 機械設計收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
圖中有一直徑為D = 25 mm 的金屬圓棒固定在牆上，於y = L1 = 300 mm
處有另一直徑為d = 15 mm 的圓柱型把手。假設把手的剛性遠大於金屬
圓棒，不需要考慮其材料變形的問題。於把手末端C 處（z = L2 = 200 mm）
施予一朝向負x 方向的外力F = 1500 N，試問在金屬圓棒A 處『分析位
置』：
第一主應力S1 有多大？（6 分）
第二主應力S2 有多大？（6 分）
最大剪應力τmax 有多大？（6 分）
若材料的蒲松比（Poisson’s Ratio）為0.4，基於最大應變能（Maximum
Strain Energy）模型，若希望達到安全係數1.2，請問金屬圓棒的降伏
強度至少要多大？（7 分）
（註：作答請明確標示單位）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、取 A 為固定端圓棒外緣受最大彎曲應力且同時受扭轉剪應力之點。斷面直徑 D=25 mm，c=12.5 mm，I=πD⁴/64=1.917×10⁴ mm⁴，J=2I=3.835×10⁴ mm⁴。固定端內力：彎矩 M=F L1=1500×300=4.50×10⁵ N·mm，扭矩 T=F L2=1500×200=3.00×10⁵ N·mm，剪力 V=1500 N。
- 二、彎曲正向應力 σ=Mc/I=4.50×10⁵×12.5/1.917×10⁴=293.4 MPa（取 A 點為拉應力側）；扭轉剪應力 τ=Tc/J=3.00×10⁵×12.5/3.835×10⁴=97.8 MPa。平面應力元素之平均應力 σavg=146.7 MPa，莫耳圓半徑 R=√[(146.7)²+(97.8)²]=176.3 MPa。
- 三、第一主應力 S1=σavg+R=146.7+176.3=323.0 MPa；第二主應力 S2=σavg−R=146.7−176.3=−29.6 MPa；第三主應力 S3=0。最大剪應力 τmax=R=(S1−S2)/2=176.3 MPa。
- 四、最大應變能模型之等效應力 σE=√[S1²+S2²−2νS1S2]=√[323.0²+(−29.6)²−2×0.4×323.0×(−29.6)]=335.9 MPa。安全係數 n=Sy/σE=1.2，故 Sy=1.2×335.9=403.1 MPa，至少約 403 MPa。
- 五、上述結果以 A 在彎曲外緣、無應力集中為前提；若 A 在壓應力側，S1 與 S2 對調，但 τmax 與所需 Sy 不變。若採 von Mises 失真能模型，等效應力約 338.7 MPa、Sy 約 406 MPa，可作比較。
有一直徑為15 mm 的圓棒之兩端分別固定於軸承上，如圖所示，
L = 1000 mm，外力F = 500 N，圓棒等速旋轉中。圓棒材料的降伏強度
為350 MPa、極限拉伸強度（Ultimate Tensile Strength）為500 MPa、耐
久限（Endurance Limit）為250 MPa，請使用下列方法計算疲勞安全係
數：
降伏線（Yield Line）（7 分）
Goodman 模型（9 分）
Soderberg 模型（9 分）
（註：作答請明確標示單位）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、依圖外力作用於兩軸承跨距中央，軸承視為簡支，反力各 250 N，最大彎矩 M=FL/4=500×1000/4=1.25×10⁵ N·mm。d=15 mm，Z=πd³/32=331.3 mm³，最大彎曲應力 σ=M/Z=377.3 MPa。
- 二、圓棒等速旋轉，固定方向之橫向力使材料點之彎曲應力完全反轉，故平均應力 σm=0、交替應力 σa=σmax=377.3 MPa；無扭轉或軸向負載。此為三種疲勞準則之共同輸入。
- 三、降伏線（Langer yield line）：σa+σm=Sy/n，故 n=350/377.3=0.928。因 n<1，表示依降伏線在該負載下已降伏，實務上須加大直徑或降低負載。
- 四、Goodman：σa/Se+σm/Sut=1/n，因 σm=0，n=Se/σa=250/377.3=0.663。Soderberg：σa/Se+σm/Sy=1/n，因 σm=0，n=250/377.3=0.663；兩者退化為同一式。
- 五、若外力作用點不在中央，應以 M=Fab/L（a+b=L）取代 FL/4；若另有穩態扭矩或軸向力，須計入平均應力，Goodman 與 Soderberg 才會出現差異。
使用直徑5 mm 的金屬絲纏繞數圈以製作一螺旋彈簧，期望該彈簧受到
外力1 N 時會伸長1 cm，該材料的楊氏係數為250 MPa、剪力模數為
200 MPa，請回答下列問題：
若纏繞圈數為4 圈（不考慮彈簧兩端的掛勾長度），此螺旋彈簧的最外
徑應該為多少？（9 分）
延續 ，該彈簧受到30 N 外力時，材料沿著外力方向受到多少剪應
力？（8 分）
延續 ，受到多少扭轉剪應力？（8 分）
（註：作答請明確標示單位）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、close-coiled helical spring 之軸向勁度 k=F/δ=Gd⁴/(8D_m³N)。已知 F=1 N、δ=10 mm，k=0.1 N/mm；d=5 mm、N=4、G=200 MPa=200 N/mm²。解得 D_m³=200×5⁴/(8×0.1×4)=3.906×10⁴ mm³，D_m=33.96 mm。
- 二、最外徑 D_o=D_m+d=33.96+5=38.96 mm，約 39.0 mm；彈簧指數 C=D_m/d=6.79。E=250 MPa 在 close-coiled 軸向變形公式中不參與；若考慮開圈螺旋角或掛鉤變形，才需另計。
- 三、受 30 N 時，沿外力方向之直接剪力平均剪應力 τd=F/A=30/(π×5²/4)=1.53 MPa。此為名目直接剪應力，未含曲率修正。
- 四、扭轉剪應力 τt=Tc/J，T=F D_m/2=30×33.96/2=509.4 N·mm，c=2.5 mm，J=πd⁴/32=61.36 mm⁴，故 τt=509.4×2.5/61.36=20.75 MPa；亦可以 8FD_m/(πd³) 得同值。
- 五、合併最大剪應力約 τmax=τt+τd=22.28 MPa；若採 Wahl 修正，約 25.3 MPa。以上以彈簧為 close-coiled、線性彈性、無初始張力為前提。
圖中有一皮帶以交叉式纏繞兩個皮帶輪，小皮帶輪的直徑為150 mm，
大皮帶輪的直徑為200 mm，兩個皮帶輪中心間的距離為600 mm，皮帶
在直線段保持緊繃。請問：
皮帶與小皮帶輪之間的接觸角度。（6 分）
皮帶與大皮帶輪之間的接觸角度。（6 分）
圖中纏繞好的皮帶之長度（請以切點到切點間準確長度計算）。（7 分）
若皮帶對小皮帶輪產生了100 N·m 的力矩，皮帶兩端將有多少張力
差？（6 分）
（註：作答請明確標示單位）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、交叉皮帶幾何：小輪半徑 r1=75 mm、大輪半徑 r2=100 mm、中心距 C=600 mm。交叉段公切線與中心連線夾角 α 滿足 sinα=(r1+r2)/C=175/600=0.29167，故 α=16.96°=0.2960 rad。
- 二、交叉皮帶之接觸角兩輪相同：θ=π+2α=180°+2×16.96°=213.9°=3.734 rad。小輪與大輪均為 213.9°，此與開式皮帶小輪小於 180° 不同。
- 三、直線段每段 Ls=√[C²−(r1+r2)²]=√[600²−175²]=573.9 mm，兩段共 1147.8 mm。圓弧段總長 Larc=(r1+r2)θ=175×3.734=653.4 mm。
- 四、皮帶總長 L=2Ls+Larc=1147.8+653.4=1801.2 mm=1.801 m。此為切點到切點之準確長度，未加接頭或安裝裕度。
- 五、力矩 T=(T1−T2)r1，故張力差 T1−T2=T/r1=100 N·m/0.075 m=1333.3 N。若以 kN 表示，約 1.33 kN。