如圖，有一水深H 、寬度W 之儲水槽，儲槽角落接管徑為D、總長為L 的長細直管，向外排水； 為水密度， 為水黏滯係數。假設排水量不 大，流場可近似於不可壓縮流，…

題目

如圖，有一水深H 、寬度W 之儲水槽，儲槽角落接管徑為D、總長為L 的長細直管，向外排水； 為水密度， 為水黏滯係數。假設排水量不 大，流場可近似於不可壓縮流，且排水對水深的影響暫時可忽略，因此 排水近似穩態過程（steady state），又若管長遠大於管徑，使得直管中流 動可近似於完全發展流（fully-developed flow）。 今將座標系定義於管徑開口正中央，( , ) u x y 及( , ) v x y 為兩個速度分量 函數，( , ) p x y 為流場壓力分布。請依流場狀況將Navier-Stokes 方程式 化減至最簡單的方程，並解流場與壓力場。（12 分） 若沿長管於 /2 x L 處側開口設置壓力計，請討論此壓力值是否即為 Navier-Stokes 方程式中的( , /2, ) p t L y ？（3 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、取 x 沿管軸、y 為橫向，假設穩態、不可壓縮、完全發展流，則 v=0、u=u(y)，連續方程式自動滿足。忽略入口效應後，x 方向慣性項為零，Navier-Stokes 方程式化簡為 0=-∂p/∂x+μ d²u/dy²；y 方向則為 0=-∂p/∂y-ρg，若忽略重力則右側為零。
• 二、由 y 方向得 p=-ρg y+f(x)，故 ∂p/∂x=f'(x) 僅為 x 的函數；又 d²u/dy²=(1/μ)dp/dx 僅為 y 的函數，兩者相等必為常數。令壓力降 K=-dp/dx>0，積分兩次並代入管壁 y=±D/2 之無滑移條件 u=0，得 u(y)=K/(2μ)(D²/4-y²)，速度剖面為拋物線。
• 三、壓力場為 p(x,y)=p_in-Kx-ρg y；取管中心出口 x=L 處為大氣壓，則 K=(p_in-p_atm)/L。若進口壓力由儲槽自由液面高度 H 提供，p_in≈p_atm+ρgH，故 K≈ρgH/L。二維槽流之單位寬度流量 q=KD³/(12μ)；若採圓管軸對稱解，則 Q=πD⁴K/(128μ)。
• 四、於 x=L/2 側壁裝壓力計，若接頭齊平、孔口無毛邊且量測點與所欲比較的 y 同高，理想上讀值為該點靜壓 p(L/2,y)，因完全發展流之橫斷面上測壓管水頭均勻。但壓力計通常讀錶壓而非絕對壓，重力使 p 隨 y 變化；接頭高程不同、孔口擾動或流場尚未完全發展時，讀值不必然等於 p(t,L/2,y)。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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