空氣與水均為牛頓流體（Newtonian fluids）的代表，其運動方程式為著
名的Navier-Stokes 方程式，若在直角座標系(
)
,x y 上描述一個二維流場，
其方程式如下：
x
u
u
u
p
u
u
u
v
g
t
x
y
x
x
y
y
v
v
v
p
v
v
u
v
g
t
x
y
y
x
y
其中( , , )
u t x y 及( , , )
v t x y 為-
x 與-
y 方向上的速度函數，( , , )
p t x y 為流場壓
力分布， 為流體密度， 為流體黏滯係數，
x
g 與
y
g 則為兩方向的單位
質量的重力分量。
何謂牛頓流體？其剪切應力表示式為何？（4 分）
現有三個未知數，請問Navier-Stokes 方程式足夠求解嗎？應如何處
理？（4 分）
請由重力分量的因次來推導黏滯係數的因次。請以大寫M、L、T 代表
質量、長度及時間因次；若需要更多的因次，請自行定義符號。（6 分）
請問流體在x 方向運動時可能受到的剪切應力對應到上述方程式中的
那些項次？請解釋該項次的動力學意義。（6 分）
如圖，有一水深H 、寬度W 之儲水槽，儲槽角落接管徑為D、總長為L
的長細直管，向外排水； 為水密度， 為水黏滯係數。假設排水量不
大，流場可近似於不可壓縮流，且排水對水深的影響暫時可忽略，因此
排水近似穩態過程（steady state），又若管長遠大於管徑，使得直管中流
動可近似於完全發展流（fully-developed flow）。
今將座標系定義於管徑開口正中央，( , )
u x y 及( , )
v x y 為兩個速度分量
函數，( , )
p x y 為流場壓力分布。請依流場狀況將Navier-Stokes 方程式
化減至最簡單的方程，並解流場與壓力場。（12 分）
若沿長管於
/2
x
L
處側開口設置壓力計，請討論此壓力值是否即為
Navier-Stokes 方程式中的( , /2, )
p t L
y ？（3 分）
四、於 x=L/2 側壁裝壓力計，若接頭齊平、孔口無毛邊且量測點與所欲比較的 y 同高，理想上讀值為該點靜壓 p(L/2,y)，因完全發展流之橫斷面上測壓管水頭均勻。但壓力計通常讀錶壓而非絕對壓，重力使 p 隨 y 變化；接頭高程不同、孔口擾動或流場尚未完全發展時，讀值不必然等於 p(t,L/2,y)。
如圖所示，一質量為100 kg 之物塊A 靜止於一平面上，該平面之動摩擦
係數分為
0.2
k
，試求下列問題（假設重力加速度為
10 m/s ）：
當F 為200 N時，物塊A 在
2 s
t
時的速度？（5 分）
當F 為(60
N
)t
時，物塊A 在
2 s
t
時的加速度為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
一、物塊重 W=mg=100×10=1000 N。若 F 為水平拉力且平面水平，法向力 N=W=1000 N，動摩擦力 f_k=μ_kN=0.2×1000=200 N，方向與運動方向相反。靜摩擦係數未給，但最大靜摩擦通常不小於動摩擦，故 F 未超過 200 N 時，物塊可保持靜止。
二、當 F=200 N 時，F 與動摩擦 200 N 相等，水平淨力為零；物塊初始靜止，靜摩擦可與 F 平衡，因此 a=0，t=2 s 時速度仍為 v=0。若物塊原本已在運動，則因淨力為零而等速前進，但題設為靜止，不能給出非零速度。
三、當 F=(60 N/s)t 時，t=2 s 之 F=120 N，仍小於 200 N 的動摩擦門檻；最大靜摩擦至少為 200 N，故物塊不會起動，靜摩擦調整為 120 N，加速度 a=0。若強行套用動摩擦，會得 (120-200)/100=-0.8 m/s²，但這與靜止起動及摩擦力不得推動靜止物塊的物理條件矛盾。
四、一般解應分段處理：先比較 F(t) 與最大靜摩擦，未超過時 a=0；超過後以 m dv/dt=F(t)-μ_kN 積分，並以起動時刻為初速零；若外力移除或反向，還要判斷速度是否降至零，零速後改由靜摩擦平衡。若 F 與水平面成角度或平面有坡度，N 與摩擦力分量會改變，題目未給圖示角度，無法另行計算。