民國115年 高考三級 機械工程 流體力學與工程力學
第6題
如圖所示，一長為2 m 的水平鋼桿固定於牆壁兩側之間，其截面積為 1000 mm 。若此鋼桿在20℃為無應力狀態，當溫度升至40℃時，試求 在下列情況時鋼桿所受…
題目
如圖所示，一長為2 m 的水平鋼桿固定於牆壁兩側之間，其截面積為 1000 mm 。若此鋼桿在20℃為無應力狀態，當溫度升至40℃時，試求 在下列情況時鋼桿所受之應力大小，並判別為拉伸或壓縮應力（已知鋼 桿的楊氏模數 210 GPa E 與熱膨脹係數 10 ppm / C ）： 牆壁固定不動。（5 分） 兩側牆壁因結構變形而遠離彼此1mm。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、溫度由 20℃ 升至 40℃，ΔT=20℃。鋼桿自由熱膨脹量 δ_T=αΔT L=10×10^-6×20×2000 mm=0.4 mm。若兩端受牆壁限制，實際伸長量 δ 與自由膨脹量之差由彈性變形吸收，彈性應變 ε_e=(δ-δ_T)/L，應力 σ=Eε_e；拉伸取正、壓縮取負。
- 二、牆壁固定不動時 δ=0，故 ε_e=-αΔT=-10×10^-6×20=-2×10^-4，σ=Eε_e=210×10^3 MPa×(-2×10^-4)=-42 MPa。負號表示壓縮應力；軸力 N=σA=-42 MPa×1000 mm²=-42 kN，即桿受 42 kN 壓力。
- 三、兩側牆壁遠離 1 mm 時，δ=+1 mm，ε_e=(1-0.4)/2000=3×10^-4，σ=210×10^3×3×10^-4=63 MPa，為拉伸應力；軸力 N=63 MPa×1000 mm²=63 kN。此因牆壁位移大於自由熱膨脹量，桿被拉長 0.6 mm。
- 四、判別原則：牆壁位移小於 0.4 mm 時，熱膨脹受抑制，桿受壓；等於 0.4 mm 時應力為零；大於 0.4 mm 時桿受拉。上述計算假設材料仍在線彈性範圍、溫度均勻、無挫屈且兩端確實連結；截面積僅影響軸力，不影響應力大小。
- 五、若兩端並非真正連結，只是容許桿自由伸縮的擋板，則牆壁外移 1 mm 後桿可能與牆壁脫離，此時應力為零而非 63 MPa；因此「固定於牆壁兩側」應理解為兩端位移受牆壁控制。作答宜先標明此邊界條件假設。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。