民國115年 高考三級 機械工程 流體力學與工程力學
第5題
如圖所示，一薄壁圓筒壓力容器兩端封閉，其平均半徑為200 mm，筒壁 厚度為10 mm，其承受一內壓力 2 MPa p 與一扭矩T。若容許工作剪應 力 25 M…
題目
如圖所示，一薄壁圓筒壓力容器兩端封閉，其平均半徑為200 mm，筒壁 厚度為10 mm，其承受一內壓力 2 MPa p 與一扭矩T。若容許工作剪應 力 25 MPa w ，試求可承受之最大扭矩？（薄壁圓筒極慣性矩為 J Ar ）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、薄壁圓筒承受內壓 p，平均半徑 r=200 mm、厚度 t=10 mm，封閉端產生環向應力 σ_h=pr/t=2×200/10=40 MPa，軸向應力 σ_l=pr/(2t)=20 MPa；徑向應力甚小，薄壁分析通常忽略。
- 二、扭矩 T 造成扭轉剪應力 τ_T=Tr/J，薄壁圓筒之極慣性矩 J=Ar²=(2πrt)r²=2πr³t=2π×200³×10≈5.03×10^8 mm^4。τ_T 在平均半徑處計算，外表面略大；薄壁近似以平均半徑代表。
- 三、筒壁上一點的應力狀態為 σ_x=σ_l、σ_θ=σ_h、τ_θx=τ_T。主應力 σ_1,2=(σ_h+σ_l)/2±√[((σ_h-σ_l)/2)²+τ_T²]=30±√(10²+τ_T²) MPa；平面應力之最大剪應力為 τ_max=√[((σ_h-σ_l)/2)²+τ_T²]。
- 四、令 τ_max≤τ_w=25 MPa，得 √(100+τ_T²)≤25，τ_T≤√525≈22.9 MPa。故 T_max=τ_TJ/r≈22.9×5.03×10^8/200≈5.76×10^7 N·mm≈57.6 kN·m。此為依平面應力最大剪應力準則之結果。
- 五、若採三向應力之絕對最大剪應力（取第三主應力 σ_3=0），則 τ_max=(σ_1-0)/2=15+0.5√(100+τ_T²)≤25，得 τ_T≤17.3 MPa、T≤43.5 kN·m。實際設計尚須考慮應力集中、端蓋接頭、腐蝕與安全係數；考試宜先說明所採強度準則。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。