民國115年 高考三級 天文 近代物理
第3題
相對論是近代物理的兩大基石之一，相對論奠定了現代核物理和粒子物 理的基礎，是核能技術應用不可或缺的理論支柱。 請由功的定義、功能原理與相對論性動量出發，列式推導…
題目
相對論是近代物理的兩大基石之一，相對論奠定了現代核物理和粒子物 理的基礎，是核能技術應用不可或缺的理論支柱。 請由功的定義、功能原理與相對論性動量出發，列式推導出質能互換 公式E=mc2。（13 分） 請估算1.0 公克的物質經過質能互換產生的能量為何？已知CO2 的生 成熱為393.8 kJ/mol，則前述能量是1.0 公克碳完全燃燒產生的能量的 多少倍？（6 分） 臺灣家庭平均年用電量約為4000 度，請估算1.0 公克的物質經過質能 互換產生的能量大約可以提供多少戶家庭一年的用電量？（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、推導起點：由功的定義與功能原理，粒子動能增量 dK=F·dx；取一維情形 dK=F dx=(dp/dt)v dt=v dp。相對論性動量（relativistic momentum）為 p=γmv，其中 γ=1/√(1−v²/c²)，故 dp=m d(γv)，可將 dK 改寫為對速度的積分。
- 二、積分求動能：K=∫v dp 以分部積分得 K=pv−∫p dv=γmv²−∫0^v m v'/√(1−v'²/c²) dv'。完成積分並整理得 K=γmc²−mc²=(γ−1)mc²。總能量定義為 E=K+mc²=γmc²；當 v=0 時 γ=1，得靜止能量 E0=mc²，即質能互換公式，表示質量本身即為能量的量度。
- 三、1.0 公克物質的能量：E=mc²=1.0×10^-3 kg ×(2.998×10^8 m/s)²≈8.99×10^13 J，約 9.0×10^13 J（相當於約 2.5×10^7 度電）。此數值只取質量全部轉換的理想情形，實際反應僅部分質量虧損轉為能量。
- 四、與碳燃燒比較：CO2 生成熱 393.8 kJ/mol，碳莫耳質量 12 g/mol，故每公克碳燃燒釋能 393.8/12≈32.8 kJ=3.28×10^4 J。比值為 9.0×10^13/3.28×10^4≈2.7×10^9，即約二十七億倍，凸顯核能與化學能能量密度相差近十個數量級。
- 五、可供多少戶家庭用電：臺灣家庭平均年用電 4000 度，1 度=1 kWh=3.6×10^6 J，故每戶每年約 1.44×10^10 J。1 公克質量全數轉換可提供 9.0×10^13/1.44×10^10≈6.3×10^3 戶，約六千餘戶家庭一年用電；若考慮轉換效率與實際燃料質量虧損比例，實際戶數會再低若干個量級。
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