民國115年 高考三級 天文 近代物理
第2題
若質量為m 的粒子被限制在一個三維立方體盒子中，盒子的邊長分別為 L1=L, L2=L, L3 =2L。請寫出十個最低能階的能量（以質量m、邊長L、 普朗克常數…
題目
若質量為m 的粒子被限制在一個三維立方體盒子中，盒子的邊長分別為 L1=L, L2=L, L3 =2L。請寫出十個最低能階的能量（以質量m、邊長L、 普朗克常數h 表示之），以及相對應的量子數集合（n1, n2, n3）；那些能階 是簡併的？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、能量式推導：三維盒中粒子（particle in a box）的駐波條件為 ki=niπ/Li，代入 E=(ħ²/2m)(k1²+k2²+k3²)，並以 ħ=h/2π 化簡，得 E=(h²/8m)(n1²/L1²+n2²/L2²+n3²/L3²)。代入 L1=L2=L、L3=2L，得 E=(h²/8mL²)(n1²+n2²+n3²/4)，令 E0=h²/(8mL²) 作為能量單位。
- 二、前五個最低能階（量子數 n1、n2、n3 均為正整數）：(1) E=2.25E0，量子數 (1,1,1)；(2) E=3.00E0，(1,1,2)；(3) E=4.25E0，(1,1,3)；(4) E=5.25E0，(1,2,1)、(2,1,1)；(5) E=6.00E0，(1,1,4)、(1,2,2)、(2,1,2)。其中 n3 的權重為 1/4，故 n3 增大時能量上升較慢，排序須整體比較 n1²+n2²+n3²/4。
- 三、第六至第十個能階：(6) E=7.25E0，(1,2,3)、(2,1,3)；(7) E=8.25E0，(2,2,1)、(1,1,5)；(8) E=9.00E0，(2,2,2)、(1,2,4)、(2,1,4)；(9) E=10.25E0，(1,3,1)、(3,1,1)、(2,2,3)；(10) E=11.00E0，(1,3,2)、(3,1,2)、(1,1,6)。
- 四、簡併（degeneracy）分析：因 L3=2L 已破壞立方對稱，簡併並非源自旋轉對稱，而是 n1²+n2²+n3²/4 數值上的巧合；n1 與 n2 互換恆造成二重簡併。上述能階中，第 4、5、7、8、9、10 階為簡併（二重或三重），第 1、2、3 階為非簡併。第 7 階的 (2,2,1) 與 (1,1,5) 同值 8.25E0，屬跨 n3 的偶然簡併，作答時最容易漏算。
- 五、作答提醒：列能量時務必先寫出 E0 的定義再逐階標示倍數，並把量子數集合完整寫出，不可只寫一組；簡併重數（degeneracy）等於同能量對應的量子數組數，最後應統計各階重數以驗證沒有遺漏。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。