民國115年 高考三級 天文 近代物理考古題
民國115年 高考三級 天文 近代物理收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
光電效應是指光照射金屬表面釋出電子的物理效應，其核心在於將「光
訊號」轉為「電訊號」，廣泛應用於現代生活與工業。
試說明光電效應的主要實驗結果，並分析這些結果如何違反古典電磁
理論預測，進而說明光量子概念的必要性。（15 分）
今以某金屬進行光電效應實驗，藉由改變入射光頻率，測量相對應的
截止電壓。試推導截止電壓與頻率的函數關係式，並說明如何由實驗
圖線求出普朗克常數與金屬功函數。（5 分）
實驗時，若將入射光頻率改為原頻率的兩倍，所量到的截止電壓是否
也是原截止電壓的兩倍？請分析之。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、主要實驗結果有四項：(1) 存在紅限頻率（threshold frequency）ν0：入射光頻率低於 ν0 時，不論光強多大都沒有光電子；(2) 截止電壓（stopping voltage）Vs 隨頻率呈線性上升，與光強無關；(3) 飽和光電流大小與光強成正比，代表單位時間釋出的電子數變多；(4) 只要 ν>ν0，光電子幾乎瞬時（約 10^-9 秒內）釋出，沒有可測量的延遲。
- 二、與古典電磁理論的衝突：古典電磁理論（classical electromagnetism）把光視為連續波，能量隨光強累積，電子只要吸收足夠能量即可脫出，因此預期任何頻率都能產生光電子、弱光需有累積時間延遲、且截止電壓應隨光強增加。但上述四項結果與這些預測全都相反，顯示光能量並非連續分布，而是呈一份一份的量子化特徵，古典波動圖像無法自洽解釋。
- 三、光量子概念的必要性：愛因斯坦（Einstein, 1905）提出光量子（photon，光子）假設，主張光能量以 E=hν 的量子形式傳遞，一個電子一次只吸收一個光子；扣除金屬功函數（work function）φ 後，最大動能 Kmax=hν−φ。此式可同時解釋紅限（hν0=φ）、線性關係、光強只改變光子數而不改變單一光子能量，以及光電子的瞬時性。
- 四、截止電壓與頻率的關係推導：截止電壓 Vs 是使光電流降為零的反向電壓，滿足 eVs=Kmax。代入 Kmax=hν−φ 得 eVs=hν−φ，即 Vs=(h/e)ν−φ/e。此為直線方程式，斜率為 h/e、縱軸截距為 −φ/e；由實驗圖線斜率乘上電子電荷 e 可得普朗克常數 h，由縱軸截距的絕對值乘 e 可得功函數 φ，或由橫軸截距 ν0=φ/h 求 φ。
- 五、頻率加倍時截止電壓是否加倍：否。設原頻率 ν 對應 Vs=(hν−φ)/e，加倍後 Vs'=(2hν−φ)/e=2(hν−φ)/e+φ/e=2Vs+φ/e。因 φ/e>0，故 Vs' 大於 2Vs，差額為 φ/e；只有 φ=0 時才恰為兩倍。可知截止電壓對頻率是帶有偏移的線性關係，並非正比。
若質量為m 的粒子被限制在一個三維立方體盒子中，盒子的邊長分別為
L1=L, L2=L, L3 =2L。請寫出十個最低能階的能量（以質量m、邊長L、
普朗克常數h 表示之），以及相對應的量子數集合（n1, n2, n3）；那些能階
是簡併的？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、能量式推導：三維盒中粒子（particle in a box）的駐波條件為 ki=niπ/Li，代入 E=(ħ²/2m)(k1²+k2²+k3²)，並以 ħ=h/2π 化簡，得 E=(h²/8m)(n1²/L1²+n2²/L2²+n3²/L3²)。代入 L1=L2=L、L3=2L，得 E=(h²/8mL²)(n1²+n2²+n3²/4)，令 E0=h²/(8mL²) 作為能量單位。
- 二、前五個最低能階（量子數 n1、n2、n3 均為正整數）：(1) E=2.25E0，量子數 (1,1,1)；(2) E=3.00E0，(1,1,2)；(3) E=4.25E0，(1,1,3)；(4) E=5.25E0，(1,2,1)、(2,1,1)；(5) E=6.00E0，(1,1,4)、(1,2,2)、(2,1,2)。其中 n3 的權重為 1/4，故 n3 增大時能量上升較慢，排序須整體比較 n1²+n2²+n3²/4。
- 三、第六至第十個能階：(6) E=7.25E0，(1,2,3)、(2,1,3)；(7) E=8.25E0，(2,2,1)、(1,1,5)；(8) E=9.00E0，(2,2,2)、(1,2,4)、(2,1,4)；(9) E=10.25E0，(1,3,1)、(3,1,1)、(2,2,3)；(10) E=11.00E0，(1,3,2)、(3,1,2)、(1,1,6)。
- 四、簡併（degeneracy）分析：因 L3=2L 已破壞立方對稱，簡併並非源自旋轉對稱，而是 n1²+n2²+n3²/4 數值上的巧合；n1 與 n2 互換恆造成二重簡併。上述能階中，第 4、5、7、8、9、10 階為簡併（二重或三重），第 1、2、3 階為非簡併。第 7 階的 (2,2,1) 與 (1,1,5) 同值 8.25E0，屬跨 n3 的偶然簡併，作答時最容易漏算。
- 五、作答提醒：列能量時務必先寫出 E0 的定義再逐階標示倍數，並把量子數集合完整寫出，不可只寫一組；簡併重數（degeneracy）等於同能量對應的量子數組數，最後應統計各階重數以驗證沒有遺漏。
相對論是近代物理的兩大基石之一，相對論奠定了現代核物理和粒子物
理的基礎，是核能技術應用不可或缺的理論支柱。
請由功的定義、功能原理與相對論性動量出發，列式推導出質能互換
公式E=mc2。（13 分）
請估算1.0 公克的物質經過質能互換產生的能量為何？已知CO2 的生
成熱為393.8 kJ/mol，則前述能量是1.0 公克碳完全燃燒產生的能量的
多少倍？（6 分）
臺灣家庭平均年用電量約為4000 度，請估算1.0 公克的物質經過質能
互換產生的能量大約可以提供多少戶家庭一年的用電量？（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、推導起點：由功的定義與功能原理，粒子動能增量 dK=F·dx；取一維情形 dK=F dx=(dp/dt)v dt=v dp。相對論性動量（relativistic momentum）為 p=γmv，其中 γ=1/√(1−v²/c²)，故 dp=m d(γv)，可將 dK 改寫為對速度的積分。
- 二、積分求動能：K=∫v dp 以分部積分得 K=pv−∫p dv=γmv²−∫0^v m v'/√(1−v'²/c²) dv'。完成積分並整理得 K=γmc²−mc²=(γ−1)mc²。總能量定義為 E=K+mc²=γmc²；當 v=0 時 γ=1，得靜止能量 E0=mc²，即質能互換公式，表示質量本身即為能量的量度。
- 三、1.0 公克物質的能量：E=mc²=1.0×10^-3 kg ×(2.998×10^8 m/s)²≈8.99×10^13 J，約 9.0×10^13 J（相當於約 2.5×10^7 度電）。此數值只取質量全部轉換的理想情形，實際反應僅部分質量虧損轉為能量。
- 四、與碳燃燒比較：CO2 生成熱 393.8 kJ/mol，碳莫耳質量 12 g/mol，故每公克碳燃燒釋能 393.8/12≈32.8 kJ=3.28×10^4 J。比值為 9.0×10^13/3.28×10^4≈2.7×10^9，即約二十七億倍，凸顯核能與化學能能量密度相差近十個數量級。
- 五、可供多少戶家庭用電：臺灣家庭平均年用電 4000 度，1 度=1 kWh=3.6×10^6 J，故每戶每年約 1.44×10^10 J。1 公克質量全數轉換可提供 9.0×10^13/1.44×10^10≈6.3×10^3 戶，約六千餘戶家庭一年用電；若考慮轉換效率與實際燃料質量虧損比例，實際戶數會再低若干個量級。
2025 年諾貝爾物理獎頒發給John Clarke、Michel H. Devoret 與John M.
Martinis，以表彰他們「發現電路中的宏觀量子力學穿隧與能量量子化」
的開創性研究。試解釋說明下列物理現象：
宏觀量子現象（10 分）
超導現象（superconductivity）（5 分）
超流體（superfluidity）（5 分）
約瑟芬森效應（Josephson effect）（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、宏觀量子現象（macroscopic quantum phenomena）：指量子力學的相位相干（phase coherence）與離散能階延伸到由億萬粒子組成的宏觀電路尺度，使穿隧（tunneling）與能量量子化可直接在電路中觀測。Clarke、Devoret、Martinis 利用超導電路（SQUID、磁通量子位元 flux qubit）證明電路可如原子般具有離散能階並發生宏觀量子穿隧，奠定量子計算的硬體基礎。
- 二、超導現象（superconductivity）：材料低於臨界溫度 Tc 時電阻驟降為零，並具完全抗磁性（Meissner effect），磁場被排除於體內。微觀上由 BCS 理論描述：電子透過晶格振動形成庫柏對（Cooper pair），凝聚成相位一致的基態，激發需跨越能隙，故電流無耗散。
- 三、超流體（superfluidity）：液氦-4 冷卻至 2.17 K 以下時黏滯係數趨近於零，可沿容器壁爬升、通過極細毛細管，並出現噴泉效應與量子化渦旋（quantized vortex）。一般以雙流體模型（two-fluid model）描述，即正常流體成分與超流成分共存，本質同為玻色凝聚造成的宏觀相位相干。
- 四、約瑟夫森效應（Josephson effect）：兩超導體間夾一極薄絕緣層形成 SIS 接面，庫柏對可穿隧通過。直流約瑟夫森效應指電壓為零時仍有超導電流 I=Ic sin Δφ（Δφ 為兩側相位差）；交流約瑟夫森效應指加偏壓 V 時產生頻率 ν=2eV/h 的交流電流。此效應是 SQUID 磁量計與電壓基準的基礎。
- 五、整體意義：上述現象共同顯示量子力學並非僅限微觀，相位相干可在宏觀電路中維持，並可透過電路參數設計能階與耦合；這正是 2025 年諾貝爾物理獎所表彰「電路中的宏觀量子穿隧與能量量子化」的核心，也直接支撐超導量子位元的發展。