試由大氣熱力方程式（含非絕熱加熱），推導出位溫（potential temperature）及說明其在絕熱下如何保守。又，在靜力假設下，推得乾空 氣絕熱上升溫度…

題目

試由大氣熱力方程式（含非絕熱加熱），推導出位溫（potential temperature）及說明其在絕熱下如何保守。又，在靜力假設下，推得乾空 氣絕熱上升溫度的降溫率（隨高度），以及說明乾氣塊上升的穩定度與環 境位溫及溫度降溫率的關係。（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、熱力方程式：考慮非絕熱加熱時，單位質量氣塊的熱力方程式可寫為 c_p dT/dt − α dp/dt = Q，其中 Q 為非絕熱加熱率（含輻射、潛熱與海氣熱交換）。以狀態方程式 α = RT/p 代入，並同除以 T，得 d(lnT)/dt − (R/c_p)d(lnp)/dt = Q/(c_pT)。
• 二、位溫的定義與推導：令位溫 θ ≡ T(p_0/p)^{R/c_p}，p_0 取 1000 hPa，取對數後微分可得 d(lnθ)/dt = d(lnT)/dt − (R/c_p)d(lnp)/dt，代回上式即得 dθ/dt = θQ/(c_pT)。位溫的物理意義是：氣塊絕熱移至標準氣壓 1000 hPa 時應具有的溫度。
• 三、絕熱下的保守性：當 Q = 0 時 dθ/dt = 0，位溫沿氣塊軌跡守恆，此即絕熱保守性。因此位溫可作為追蹤氣團、辨識鋒面與逆溫層的標籤；但若存在輻射冷卻、凝結潛熱釋放或海氣熱交換，位溫就不再保守，濕過程須改用相當位溫 θ_e 處理。
• 四、乾絕熱遞減率：由靜力平衡 dp/dz = −ρg 與絕熱關係 dT/dp = α/c_p = RT/(c_p p)，可得 dT/dz = −g/c_p ≡ −Γ_d，數值約為 −9.8 K/km。此降溫率只取決於重力加速度與定壓比熱，與環境溫度結構無關，是氣塊法比較穩定度的基準。
• 五、穩定度與環境遞減率：令環境遞減率 Γ = −∂T/∂z，當 Γ < Γ_d 時環境趨於穩定、Γ = Γ_d 為中性、Γ > Γ_d 為不穩定。若以位溫表示更為簡潔：∂θ/∂z > 0 為穩定、= 0 為中性、< 0 為不穩定；且 N² = (g/θ)∂θ/∂z 即 Brunt-Väisälä 頻率平方，可直接量化回復力大小。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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