民國115年 高考三級 氣象 大氣動力學考古題
民國115年 高考三級 氣象 大氣動力學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
試由大氣熱力方程式（含非絕熱加熱），推導出位溫（potential
temperature）及說明其在絕熱下如何保守。又，在靜力假設下，推得乾空
氣絕熱上升溫度的降溫率（隨高度），以及說明乾氣塊上升的穩定度與環
境位溫及溫度降溫率的關係。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、熱力方程式：考慮非絕熱加熱時，單位質量氣塊的熱力方程式可寫為 c_p dT/dt − α dp/dt = Q，其中 Q 為非絕熱加熱率（含輻射、潛熱與海氣熱交換）。以狀態方程式 α = RT/p 代入，並同除以 T，得 d(lnT)/dt − (R/c_p)d(lnp)/dt = Q/(c_pT)。
- 二、位溫的定義與推導：令位溫 θ ≡ T(p_0/p)^{R/c_p}，p_0 取 1000 hPa，取對數後微分可得 d(lnθ)/dt = d(lnT)/dt − (R/c_p)d(lnp)/dt，代回上式即得 dθ/dt = θQ/(c_pT)。位溫的物理意義是：氣塊絕熱移至標準氣壓 1000 hPa 時應具有的溫度。
- 三、絕熱下的保守性：當 Q = 0 時 dθ/dt = 0，位溫沿氣塊軌跡守恆，此即絕熱保守性。因此位溫可作為追蹤氣團、辨識鋒面與逆溫層的標籤；但若存在輻射冷卻、凝結潛熱釋放或海氣熱交換，位溫就不再保守，濕過程須改用相當位溫 θ_e 處理。
- 四、乾絕熱遞減率：由靜力平衡 dp/dz = −ρg 與絕熱關係 dT/dp = α/c_p = RT/(c_p p)，可得 dT/dz = −g/c_p ≡ −Γ_d，數值約為 −9.8 K/km。此降溫率只取決於重力加速度與定壓比熱，與環境溫度結構無關，是氣塊法比較穩定度的基準。
- 五、穩定度與環境遞減率：令環境遞減率 Γ = −∂T/∂z，當 Γ < Γ_d 時環境趨於穩定、Γ = Γ_d 為中性、Γ > Γ_d 為不穩定。若以位溫表示更為簡潔：∂θ/∂z > 0 為穩定、= 0 為中性、< 0 為不穩定；且 N² = (g/θ)∂θ/∂z 即 Brunt-Väisälä 頻率平方，可直接量化回復力大小。
在梯度風平衡下，當科氏力和氣壓梯度力方向相反的氣流稱為壓流
（baric flow），而二者方向相同的氣流稱為反壓流（antibaric flow）。說明
僅有一種梯度風平衡系統具有反壓流。又，在北半球此系統的氣流絕對
角動量為正或負，請說明之。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、梯度風方程：在自然座標下，水平動量方程可寫為 V²/R + fV = −(1/ρ)∂p/∂n，其中 R 為曲率半徑（氣旋式為正）、n 指向運動方向的左方。此式表示離心加速度、科氏加速度與氣壓梯度力三者達成平衡，即梯度風平衡。
- 二、壓流與反壓流的定義：若科氏力與氣壓梯度力方向相反，稱為壓流（baric flow）；若兩者方向相同，則必須靠離心力與其合力平衡，稱為反壓流（antibaric flow）。在四種梯度風解中，僅「反氣旋式低壓」（anomalous low）屬於反壓流。
- 三、反氣旋式低壓的力平衡：氣流繞低壓作順時針旋轉，R < 0，且低壓中心位於運動方向的右側，氣壓梯度力指向內；北半球科氏力亦指向運動右方（即向內），二者同向，故為反壓流。此解要求 V > f|R|，即風速須超過慣性圓速度，屬超梯度風（supergradient wind）。
- 四、絕對角動量：單位質量絕對角動量 M = Vr + ½fr²。反氣旋式低壓因 V < 0 且 |V| > fr，故 M = r(V + fr/2) < 0，即絕對角動量為負值；其餘三種梯度風解（氣旋式低壓、氣旋式高壓、反氣旋式高壓）的 M 均為正。
- 五、物理意義：M < 0 表示外側的 M 反而更小，違反慣性穩定條件 ∂M/∂r > 0，因此反氣旋式低壓本質上為慣性不穩定，無法長時間維持；實際大氣中僅偶見短暫的異常低壓或中尺度渦旋，可作為理論與觀測對照的例子。
熱帶赤道波包含多種型態的波動，其中有特別的mixed Rossby-Gravity
（MRG）波及Kelvin 波，試描述此兩種特別波的形成機制、傳遞方向、
環流特性（高度場及風場）以及對大氣與海洋大尺度運動有何影響？此
外，何種熱帶波動較有利於熱帶氣旋的形成？請說明之。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、理論背景：在赤道 β 平面上求解淺水方程組，Matsuno 給出赤道陷捕波的頻散譜，包含向西傳的赤道羅斯貝波、向東傳的 Kelvin 波，以及 n = 0 的混合羅斯貝重力波（mixed Rossby-gravity wave, MRG）。
- 二、MRG 波的形成與結構：它是羅斯貝波與重力波混合的 n = 0 模，機制為 β 效應與重力恢復力耦合。相位向西傳播（週期約 4 至 5 天、波長約 10^4 km），群速則向東。經向風 v 對赤道對稱，zonal 風 u 與高度場對赤道反對稱，故赤道兩側呈現交錯的渦旋對。
- 三、Kelvin 波的形成與結構：在赤道因 f = 0，科氏力無法支撐經向氣壓梯度，故 v = 0，只剩向東傳播、非頻散的 Kelvin 波；u 與高度場對赤道對稱並呈高斯分布，半寬約 1000 至 1500 km。大氣中相速約 30 至 50 m/s，海洋中僅 2 至 3 m/s。
- 四、對大尺度運動的影響：MRG 與 Kelvin 波會調制對流與降水，是 MJO 與季內振盪的重要成分；海洋 Kelvin 波沿赤道東傳，把西太平洋暖水訊號帶往東太平洋，為 ENSO 發展的關鍵機制，亦影響印度洋偶極與季風肇始。
- 五、對熱帶氣旋的助益：MRG 波（常以 TD-type 擾動形式出現）與東風波可提供低層輻合、正渦度與水氣，最有利於熱帶氣旋生成；Kelvin 波則藉由改變背景場與觸發對流，扮演催化的角色，兩者常與季內振盪共同作用。
請論述對稱不穩定（symmetric instability），此不穩定是一種特殊的斜壓
不穩定，為沿等位溫面的慣性不穩定，可解釋鋒面的斜向對流機制，請
以北半球經向等位溫面及等絕對動量面繪圖說明此穩定度情況。此外，
此對稱不穩定發生時與環境位渦有何關係？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義：對稱不穩定（symmetric instability）是指氣塊沿等位溫面作斜向位移時的不穩定，可視為「沿等位溫面的慣性不穩定」，介於純重力不穩定與純慣性不穩定之間，常出現於鋒面、極區海洋邊界層與對流雨帶。
- 二、繪圖說明：以橫軸為經向 y（向北）、縱軸為高度 z 作剖面，畫出向北傾斜上升的等位溫線（暖側在南），再疊繪絕對動量線 M = u + fy。若 M 線斜率比 θ 線陡，氣塊沿 θ 面位移後會進入 M 較小區，淨力使其繼續位移，即為不穩定；繪圖時應標出位移箭頭與回復力方向。
- 三、穩定度判別：令 s_θ = −(∂θ/∂y)/(∂θ/∂z)、s_M = −(∂M/∂y)/(∂M/∂z)。當 s_M > s_θ 為對稱不穩定，s_M = s_θ 為中性（濕對稱中性），s_M < s_θ 為穩定。圖上即比較兩組等值線的傾斜程度，斜率相同時為臨界狀態。
- 四、與位渦的關係：對稱不穩定等價於 Ertel 位渦 q = (1/ρ)[(f + ζ)∂θ/∂z − (∂u/∂z)(∂θ/∂y)] < 0，即負位渦。因 q 同時包含慣性穩定度與靜力穩定度，q < 0 表示其中之一被抵銷，故為判別的充要條件；飽和時應改用 θ_e 計算。
- 五、應用與限制：對稱不穩定釋放能量後形成平行於熱成風的斜向環流，造成鋒面雨帶、波列與對流胞的排列；但真實大氣受非絕熱加熱、摩擦與三維效應影響，觀測上多以 q < 0 區與雨帶位置相互印證，並配合都卜勒雷達風場驗證。
預報模式常使用的平流方法，包含一階的上游法（upstream scheme）及
二階的跳蛙法（leapfrog scheme），試針對一維線性平流方程式，寫出二
者的有限差分格式（設平流速度c，時間步驟ߜݐ，網格間距ߜݔ），說明其
CFL 穩定度條件，以及對被平流量的長短波的振幅與相位的相對保守情
況。此外，如何將一階上游法改為一種半拉格朗日法（semi-Lagrangian
scheme），並說明可以解除穩定度條件限制，對於正質量（如水氣）平流，
亦不會產生負值。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、控制方程：一維線性平流方程式為 ∂u/∂t + c∂u/∂x = 0。設時間步長 Δt、網格間距 Δx，格點指標 j、時間層 n，以下均以 c > 0 書寫；c < 0 時將差分方向對稱調整即可。
- 二、一階上游法：離散式為 u_j^{n+1} = u_j^n − (cΔt/Δx)(u_j^n − u_{j−1}^n)，CFL 穩定條件為 0 ≤ cΔt/Δx ≤ 1。此格式為一階，數值擴散強，短波振幅衰減快、相位落後（波傳得偏慢），長波則相對保守較佳。
- 三、二階跳蛙法：離散式為 u_j^{n+1} = u_j^{n−1} − (cΔt/Δx)(u_{j+1}^n − u_{j−1}^n)，CFL 條件同樣為 cΔt/Δx ≤ 1。格式為二階且中性穩定，振幅不衰減（計算模除外），但短波相位誤差大、相速明顯偏慢，且需以 Robert-Asselin 濾波抑制時間分離的計算模。
- 四、兩者比較：就振幅保守而言，跳蛙法優於上游法；就相位保守而言，兩者對短波皆不理想，上游法偏慢且過度平滑，跳蛙法則有嚴重的短波相位誤差。實務上常以高階或半拉格朗日格式折衷，並以濾波器控制計算模。
- 五、半拉格朗日法：將格式改寫為 u_j^{n+1} = u(x_j − cΔt, t_n)，即沿軌跡回溯至上游點再內插取值。對線性平流為無條件穩定，CFL 可大於 1；若採單調內插，權重非負且和為 1，內插值必為鄰點的正凸組合，故水氣等正定量不會出現負值，但仍需注意質量守恆與平滑造成的振幅損失。