民國115年 高考三級 氣象 大氣動力學
第5題
預報模式常使用的平流方法，包含一階的上游法（upstream scheme）及 二階的跳蛙法（leapfrog scheme），試針對一維線性平流方程式，寫出二…
題目
預報模式常使用的平流方法，包含一階的上游法（upstream scheme）及 二階的跳蛙法（leapfrog scheme），試針對一維線性平流方程式，寫出二 者的有限差分格式（設平流速度c，時間步驟ߜݐ，網格間距ߜݔ），說明其 CFL 穩定度條件，以及對被平流量的長短波的振幅與相位的相對保守情 況。此外，如何將一階上游法改為一種半拉格朗日法（semi-Lagrangian scheme），並說明可以解除穩定度條件限制，對於正質量（如水氣）平流， 亦不會產生負值。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、控制方程：一維線性平流方程式為 ∂u/∂t + c∂u/∂x = 0。設時間步長 Δt、網格間距 Δx，格點指標 j、時間層 n，以下均以 c > 0 書寫；c < 0 時將差分方向對稱調整即可。
- 二、一階上游法：離散式為 u_j^{n+1} = u_j^n − (cΔt/Δx)(u_j^n − u_{j−1}^n)，CFL 穩定條件為 0 ≤ cΔt/Δx ≤ 1。此格式為一階，數值擴散強，短波振幅衰減快、相位落後（波傳得偏慢），長波則相對保守較佳。
- 三、二階跳蛙法：離散式為 u_j^{n+1} = u_j^{n−1} − (cΔt/Δx)(u_{j+1}^n − u_{j−1}^n)，CFL 條件同樣為 cΔt/Δx ≤ 1。格式為二階且中性穩定，振幅不衰減（計算模除外），但短波相位誤差大、相速明顯偏慢，且需以 Robert-Asselin 濾波抑制時間分離的計算模。
- 四、兩者比較：就振幅保守而言，跳蛙法優於上游法；就相位保守而言，兩者對短波皆不理想，上游法偏慢且過度平滑，跳蛙法則有嚴重的短波相位誤差。實務上常以高階或半拉格朗日格式折衷，並以濾波器控制計算模。
- 五、半拉格朗日法：將格式改寫為 u_j^{n+1} = u(x_j − cΔt, t_n)，即沿軌跡回溯至上游點再內插取值。對線性平流為無條件穩定，CFL 可大於 1；若採單調內插，權重非負且和為 1，內插值必為鄰點的正凸組合，故水氣等正定量不會出現負值，但仍需注意質量守恆與平滑造成的振幅損失。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。