民國115年 高考三級 輻射安全 輻射度量
第5題
某放射性核種A 衰變為核種B，A 的半化期為10 小時，B 的半化期為4 小時。假設初始時刻只有A 核種存在，且B 核種初始活度為零。試計算 B 核種活度達最大…
題目
某放射性核種A 衰變為核種B，A 的半化期為10 小時，B 的半化期為4 小時。假設初始時刻只有A 核種存在，且B 核種初始活度為零。試計算 B 核種活度達最大值所需的時間。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設A、B之衰變常數為λ_A=ln2/10=0.0693 h^-1、λ_B=ln2/4=0.1733 h^-1；初始N_A(0)=N_0、N_B(0)=0，且不考慮分支衰變、反彈損失與其他生成途徑。
- 二、由Bateman方程式，B之活度為A_B(t)=A_A(0)λ_B/(λ_B-λ_A)(e^-λ_A t-e^-λ_B t)；因λ_B>λ_A，B活度先增後減，最大值發生於dA_B/dt=0，即λ_B e^-λ_B t=λ_A e^-λ_A t。
- 三、整理得e^(λ_B-λ_A)t=λ_B/λ_A，故t_max=ln(λ_B/λ_A)/(λ_B-λ_A)；此式亦可由A_A=A_B之平衡條件求得，因為B活度最大時母核供應率等於子核衰變率。
- 四、代入λ_B/λ_A=10/4=2.5，λ_B-λ_A=0.1733-0.0693=0.1040 h^-1，ln2.5=0.9163，故t_max=0.9163/0.1040≈8.81 h，即約8小時49分。
- 五、此時A_A=A_B≈0.543A_A(0)，之後B/A活度比趨近λ_B/(λ_B-λ_A)=1.67，屬暫時平衡（transient equilibrium）；若母核半化期遠大於子核，則B活度在數個子核半化期後與A活度接近，進入長期平衡（secular equilibrium），最大值的出現時間則大幅延後。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。