民國113年 離島三等 經建行政 統計學
第1題
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請…
題目
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液 中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？ 在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣 本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介 於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配與標準化：設母體 X～N(140, 3.5²)，樣本數 n=25。由常態母體抽樣之性質，樣本平均數 X̄ 亦服從常態分配，期望值 E(X̄)=µ=140，標準誤（standard error）為 σ_X̄=σ/√n=3.5/5=0.7；標準化後 Z=(X̄−µ)/(σ/√n)～N(0,1)。
- 二、第一小題計算：所求為 P(X̄>140.5)=P(Z>(140.5−140)/0.7)=P(Z>0.7143)。查附表1得 Φ(0.7143)≒0.7625，故機率為 1−0.7625=0.2375，約 23.75%（約兩成四）。本小題母體標準差已知，應使用 Z 分配，不必以 t 分配處理。
- 三、第二小題設定：母體標準差未知，改以樣本標準差 s=5 估計，須使用 t 分配（Student's t distribution）。取樞紐量 T=(X̄−µ)/(s/√n)～t(df=n−1=24)，其標準誤為 5/5=1，故 T=X̄−140，自由度為 24。
- 四、第二小題計算：P(138<X̄<142)=P(−2<T<2)。查 t 表得 t_{24,0.025}=2.0639，故 P(T>2)≒0.0283，所求=1−2×0.0283=0.9434，約 94.34%。相較常態分配之 0.9545，t 分配尾部較厚、中央機率略低，反映小樣本且以 s 替代 σ 之不確定性。
- 五、作答提醒：兩小題之關鍵差異在母體標準差是否已知；未給 σ 而以 s 代入時，務必改用 t 分配並標明自由度。書寫時應完整呈現標準化步驟、查表數值與尾機率，並以「約為」表述，以免查表精度之爭議。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。