令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x

題目

令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x , 0 x , 0 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 試求 的最大概似估計子（MLE）。 試求題 估計子的一階動差。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、概似函數：設 X1,…,Xn 獨立且同分布，密度為 f(x)=2x/θ²（0<x<θ，θ>0）。概似函數 L(θ)=∏(2x_i/θ²)=2^n(∏x_i)θ^(−2n)，其定義域須滿足所有 0<x_i<θ，即 θ≥x_(n)=max(x_i)，此為求解 MLE 之關鍵限制。
• 二、MLE 求解：在可行域內，L(θ) 對 θ 為單調遞減函數（θ 愈大，概似值愈小），故最大值發生於邊界 θ=x_(n)。因此最大概似估計子（maximum likelihood estimator, MLE）為 θ̂=X_(n)=max(X1,…,Xn)，即樣本最大值。若密度為 kx^(k−1)/θ^k 之一般形式，結論相同。
• 三、抽樣分配：令 M=X_(n)，其累積分布函數為 F_M(m)=[F(m)]^n=(m²/θ²)^n=m^(2n)/θ^(2n)，0<m<θ；微分得密度 f_M(m)=2n·m^(2n−1)/θ^(2n)，可據此求動差。
• 四、一階動差：E(θ̂)=∫₀^θ m·2n·m^(2n−1)/θ^(2n) dm=(2n/θ^(2n))·θ^(2n+1)/(2n+1)=2nθ/(2n+1)。因 2n/(2n+1)<1，故 θ̂ 系統性低估 θ，屬偏誤（biased）估計子。
• 五、延伸說明：以 (2n+1)/(2n)·X_(n) 修正後可得不偏估計子（unbiased estimator）。另因 n→∞ 時 E(θ̂)→θ 且 Var(θ̂)→0，θ̂ 亦具一致性（consistency），可作為良好估計子之佐證。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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