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民國113年 離島三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140
milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題：
（每小題10 分，共20 分）
假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液
中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？
在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣
本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介
於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方） 一、抽樣分配與標準化：設母體 X～N(140, 3.5²)，樣本數 n=25。由常態母體抽樣之性質，樣本平均數 X̄ 亦服從常態分配，期望值 E(X̄)=µ=140，標準誤（standard error）為 σ_X̄=σ/√n=3.5/5=0.7；標準化後 Z=(X̄−µ)/(σ/√n)～N(0,1)。 二、第一小題計算：所求為 P(X̄>140.5)=P(Z>(140.5−140)/0.7)=P(Z>0.7143)。查附表1得 Φ(0.7143)≒0.7625，故機率為 1−0.7625=0.2375，約 23.75%（約兩成四）。本小題母體標準差已知，應使用 Z 分配，不必以 t 分配處理。 三、第二小題設定：母體標準差未知，改以樣本標準差 s=5 估計，須使用 t 分配（Student's t distribution）。取樞紐量 T=(X̄−µ)/(s/√n)～t(df=n−1=24)，其標準誤為 5/5=1，故 T=X̄−140，自由度為 24。 四、第二小題計算：P(138<X̄<142)=P(−2<T<2)。查 t 表得 t_{24,0.025}=2.0639，故 P(T>2)≒0.0283，所求=1−2×0.0283=0.9434，約 94.34%。相較常態分配之 0.9545，t 分配尾部較厚、中央機率略低，反映小樣本且以 s 替代 σ 之不確定性。 五、作答提醒：兩小題之關鍵差異在母體標準差是否已知；未給 σ 而以 s 代入時，務必改用 t 分配並標明自由度。書寫時應完整呈現標準化步驟、查表數值與尾機率，並以「約為」表述，以免查表精度之爭議。
令隨機變數
1,...,
n
X
X 彼此獨立且具有相同分配：
( )
f x
x
, 0
x
, 0
請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分）
試求 的最大概似估計子（MLE）。
試求題 估計子的一階動差。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、概似函數：設 X1,…,Xn 獨立且同分布，密度為 f(x)=2x/θ²（0<x<θ，θ>0）。概似函數 L(θ)=∏(2x_i/θ²)=2^n(∏x_i)θ^(−2n)，其定義域須滿足所有 0<x_i<θ，即 θ≥x_(n)=max(x_i)，此為求解 MLE 之關鍵限制。 二、MLE 求解：在可行域內，L(θ) 對 θ 為單調遞減函數（θ 愈大，概似值愈小），故最大值發生於邊界 θ=x_(n)。因此最大概似估計子（maximum likelihood estimator, MLE）為 θ̂=X_(n)=max(X1,…,Xn)，即樣本最大值。若密度為 kx^(k−1)/θ^k 之一般形式，結論相同。 三、抽樣分配：令 M=X_(n)，其累積分布函數為 F_M(m)=[F(m)]^n=(m²/θ²)^n=m^(2n)/θ^(2n)，0<m<θ；微分得密度 f_M(m)=2n·m^(2n−1)/θ^(2n)，可據此求動差。 四、一階動差：E(θ̂)=∫₀^θ m·2n·m^(2n−1)/θ^(2n) dm=(2n/θ^(2n))·θ^(2n+1)/(2n+1)=2nθ/(2n+1)。因 2n/(2n+1)<1，故 θ̂ 系統性低估 θ，屬偏誤（biased）估計子。 五、延伸說明：以 (2n+1)/(2n)·X_(n) 修正後可得不偏估計子（unbiased estimator）。另因 n→∞ 時 E(θ̂)→θ 且 Var(θ̂)→0，θ̂ 亦具一致性（consistency），可作為良好估計子之佐證。
陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂
7 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗
成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下：
學生
使用前
使用後
在0.05 的顯著水準下，請利用p 值法檢定是否創新教學方法會提高學生
學習成效？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定方法之選擇：同一批 7 位學生重複測量「使用前」與「使用後」成績，兩組資料並非獨立，而具配對（paired）關係，故應採配對樣本 t 檢定（paired t-test），亦即對差值 d_i=使用後成績−使用前成績 進行單一樣本 t 檢定。 二、假設設定：欲檢定創新教學是否「提高」成效，採右尾檢定。H0：µ_d≤0（未提高）；H1：µ_d>0（有提高）。顯著水準 α=0.05，自由度 df=n−1=6，拒絕域為 t*>t_{6,0.05}=1.943，或 p 值<0.05 時拒絕 H0。 三、計算步驟：先求各生差值 d_i，計算平均差 d̄=Σd_i/7 與標準差 s_d=√[Σ(d_i−d̄)²/6]，檢定統計量 t*=d̄/(s_d/√7)。p 值=P(t_6>t*)，查 t 表以自由度 6 之右尾面積求得，並與 0.05 比較。 四、判定規則：若 p 值<0.05（即 t*>1.943），拒絕 H0，於 0.05 水準下可認為創新教學法顯著提高學習成效；若 p 值≥0.05，則不拒絕 H0，證據不足以支持教學法有效。本題表格數值於題面缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須自行代入表中成績完成上述計算。 五、注意事項：配對 t 檢定假設差值近似常態，樣本僅 7 人宜留意離群值；又本題為單尾檢定，切勿誤用雙尾臨界值 2.447。結論應以「拒絕或不拒絕 H0」表述，避免寫成「接受 H0」或「證明有效」。
使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm），如下表所示：
A
B
C
請建立ANOVA 表，並在顯著水準0.1 下檢定三種肥料對農作物的平均
生長高度是否不同？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與假設：此為一因子變異數分析（one-way ANOVA），模型為 Y_ij=µ+τ_i+ε_ij，i=A,B,C，ε_ij～N(0,σ²) 且獨立。檢定 H0：µ_A=µ_B=µ_C（三種肥料平均生長高度相同）對 H1：至少有一組平均數不同。顯著水準 α=0.1。 二、ANOVA 表結構：表中應含來源（source）、平方和（SS）、自由度（df）、均方（MS）、F 值等欄位；列為「處理（肥料）」與「誤差（error）」，並列「總和（total）」。處理項 df=k−1=2，誤差項 df=N−k，總和 df=N−1。 三、計算公式：SST=ΣΣ(Y_ij−Ȳ..)²；SSTR=Σ n_i(Ȳ_i.−Ȳ..)²；SSE=SST−SSTR。MSTR=SSTR/(k−1)，MSE=SSE/(N−k)，F=MSTR/MSE。其中 k=3，N 為三組觀測值總個數。 四、判定規則：在 α=0.1 下，若 F>F_{0.1}(2, N−3) 則拒絕 H0，認定三種肥料之平均生長高度有顯著差異；反之則無足夠證據。本題各組生長高度數值於題面缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須以表中數據代入上式完成 ANOVA 表。 五、延伸建議：若檢定結果顯著，應進一步從事後比較（如 Tukey HSD 或 Fisher LSD）以找出哪兩組不同；並提醒 ANOVA 需滿足常態性、變異數同質性與獨立性三項假設，若樣本數少宜審慎解讀。
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記
錄8 位病人服藥的結果如下：
X
Y
試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效
維持時間的影響。（10 分）
在0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。
（15 分）
此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分）
附表1
表中的數值代表對應的z 值
以左，標準常態曲線下方的
面積。例如，z=1.25，累積機
率下0.8944。
累積機率
附表2
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型設定：以藥量 X 為自變數、藥效維持時間 Y 為依變數，建立簡單線性迴歸（simple linear regression）Y_i=β0+β1X_i+ε_i，ε_i～N(0,σ²) 且獨立，β0 為截距、β1 為斜率（藥量對藥效時間之邊際效果）。 二、LSE 估計：最小平方估計法（least squares estimation, LSE）極小化 Σ(Y_i−β0−β1X_i)²，得正規方程式之解 b1=Sxy/Sxx=[ΣX_iY_i−(ΣX_i)(ΣY_i)/n]/[ΣX_i²−(ΣX_i)²/n]，b0=Ȳ−b1X̄，迴歸方程式為 Ŷ=b0+b1X。n=8。 三、顯著性檢定：H0：β1=0 對 H1：β1≠0，α=0.05。檢定統計量 t=b1/SE(b1)，其中 SE(b1)=√(MSE/Sxx)，MSE=SSE/(n−2)，df=6。拒絕域為 |t|>t_{0.025,6}=2.447，或 p 值<0.05；亦可採 F 檢定，F=t²，F_{0.05}(1,6)=5.99。 四、解釋能力：判定係數 R²=SSR/SST=1−SSE/SST，等於相關係數之平方 r²，代表 Y 之總變異中可由 X 解釋之比例，數值介於 0 與 1，愈接近 1 解釋能力愈佳；另可輔以調整後 R² 與估計標準誤。 五、資料缺漏之處理：本題藥量與藥效時間之數據於題面缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應先列出 ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY² 五個充分統計量，再依序求 b1、b0、SSE、R² 與 t 值，並以「若 |t|>2.447 則拒絕 H0」之判定規則作結。