民國113年 離島三等 經建行政 統計學
第5題
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記 錄8 位病人服藥的結果如下： X Y 試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量…
題目
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記 錄8 位病人服藥的結果如下： X Y 試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效 維持時間的影響。（10 分） 在0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。 （15 分） 此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分） 附表1 表中的數值代表對應的z 值 以左，標準常態曲線下方的 面積。例如，z=1.25，累積機 率下0.8944。 累積機率 附表2
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：以藥量 X 為自變數、藥效維持時間 Y 為依變數，建立簡單線性迴歸（simple linear regression）Y_i=β0+β1X_i+ε_i，ε_i～N(0,σ²) 且獨立，β0 為截距、β1 為斜率（藥量對藥效時間之邊際效果）。
- 二、LSE 估計：最小平方估計法（least squares estimation, LSE）極小化 Σ(Y_i−β0−β1X_i)²，得正規方程式之解 b1=Sxy/Sxx=[ΣX_iY_i−(ΣX_i)(ΣY_i)/n]/[ΣX_i²−(ΣX_i)²/n]，b0=Ȳ−b1X̄，迴歸方程式為 Ŷ=b0+b1X。n=8。
- 三、顯著性檢定：H0：β1=0 對 H1：β1≠0，α=0.05。檢定統計量 t=b1/SE(b1)，其中 SE(b1)=√(MSE/Sxx)，MSE=SSE/(n−2)，df=6。拒絕域為 |t|>t_{0.025,6}=2.447，或 p 值<0.05；亦可採 F 檢定，F=t²，F_{0.05}(1,6)=5.99。
- 四、解釋能力：判定係數 R²=SSR/SST=1−SSE/SST，等於相關係數之平方 r²，代表 Y 之總變異中可由 X 解釋之比例，數值介於 0 與 1，愈接近 1 解釋能力愈佳；另可輔以調整後 R² 與估計標準誤。
- 五、資料缺漏之處理：本題藥量與藥效時間之數據於題面缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應先列出 ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY² 五個充分統計量，再依序求 b1、b0、SSE、R² 與 t 值，並以「若 |t|>2.447 則拒絕 H0」之判定規則作結。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。