民國113年 離島四等 經建行政 統計學概要
第1題
某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低…
題目
某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低品質、2 表示中品質、3 表示高品質），獲得以下的交叉表： （每小題10 分，共30 分） 餐點價格（Y） 品質評等（X） 合計 合計 試計算餐廳品質評等分數之平均值及變異數，意即E(X )及Var(X )。 試計算餐廳餐點價格分數之平均值及變異數，意即E(Y )及Var(Y )。 若Var(X+Y)=1.6691，試計算餐廳品質評等分數（X）與餐點價格分數 （Y）之相關係數，意即Cor(X, Y)，並解釋之。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、本題為 3×3 交叉表（contingency table），X 為品質評等、Y 為餐點價格，兩者均屬次序（ordinal）離散變數，總樣本數 n=300。計算邊際機率時，須先由交叉表的列合計與行合計取得 X、Y 各自的邊際次數，再分別除以 300。由於題幹未呈現九個格子的實際次數，因此僅能建立通式並說明計算步驟。
- 二、設 X=x 的邊際次數為 n_x（x=1,2,3），邊際機率 p_x=n_x/300。則 E(X)=Σx·p_x=(n1+2n2+3n3)/300；E(X²)=(n1+4n2+9n3)/300；Var(X)=E(X²)−[E(X)]²。Y 同理，以行邊際次數 m_y 代入：E(Y)=(m1+2m2+3m3)/300，Var(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²。若各格次數已知，直接代入即可得唯一數值。
- 三、由 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) 可得 Cov(X,Y)=[1.6691−Var(X)−Var(Y)]/2，再除以 σX·σY 即得 Cor(X,Y)。判定規則：Cor>0 表品質與價格同向變動，Cor<0 表反向；|Cor|>0.7 為高度線性相關、0.3~0.7 中度、<0.3 低度。
- 四、解釋上，若相關係數顯著為正，可詮釋為「品質評等較高的餐廳傾向訂定較高價位」，但相關不等於因果。惟因九格次數缺漏，Var(X)、Var(Y) 無法求得，Cov 與 Cor 亦隨之不定，故本小題「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」；另應以 |Cov|≤σX·σY（Cauchy-Schwarz 不等式）作為合理性檢核。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。