民國113年 離島四等 經建行政 統計學概要考古題

民國113年 離島四等 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低品質、2 表示中品質、3 表示高品質），獲得以下的交叉表： （每小題10 分，共30 分） 餐點價格（Y） 品質評等（X） 合計 合計 試計算餐廳品質評等分數之平均值及變異數，意即E(X )及Var(X )。 試計算餐廳餐點價格分數之平均值及變異數，意即E(Y )及Var(Y )。 若Var(X+Y)=1.6691，試計算餐廳品質評等分數（X）與餐點價格分數 （Y）之相關係數，意即Cor(X, Y)，並解釋之。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、本題為 3×3 交叉表（contingency table），X 為品質評等、Y 為餐點價格，兩者均屬次序（ordinal）離散變數，總樣本數 n=300。計算邊際機率時，須先由交叉表的列合計與行合計取得 X、Y 各自的邊際次數，再分別除以 300。由於題幹未呈現九個格子的實際次數，因此僅能建立通式並說明計算步驟。
  • 二、設 X=x 的邊際次數為 n_x（x=1,2,3），邊際機率 p_x=n_x/300。則 E(X)=Σx·p_x=(n1+2n2+3n3)/300；E(X²)=(n1+4n2+9n3)/300；Var(X)=E(X²)−[E(X)]²。Y 同理，以行邊際次數 m_y 代入：E(Y)=(m1+2m2+3m3)/300，Var(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²。若各格次數已知，直接代入即可得唯一數值。
  • 三、由 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) 可得 Cov(X,Y)=[1.6691−Var(X)−Var(Y)]/2，再除以 σX·σY 即得 Cor(X,Y)。判定規則：Cor>0 表品質與價格同向變動，Cor<0 表反向；|Cor|>0.7 為高度線性相關、0.3~0.7 中度、<0.3 低度。
  • 四、解釋上，若相關係數顯著為正，可詮釋為「品質評等較高的餐廳傾向訂定較高價位」，但相關不等於因果。惟因九格次數缺漏，Var(X)、Var(Y) 無法求得，Cov 與 Cor 亦隨之不定，故本小題「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」；另應以 |Cov|≤σX·σY（Cauchy-Schwarz 不等式）作為合理性檢核。

第2題

設有一批產品，每1,000 件中平均有一件為不良品。取8,000 件的隨機 樣本，試運用「卜瓦松（Poisson）機率分配近似二項機率分配」的觀念 計算其中不良品少於10 件的機率為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、每件不良率 p=1/1000=0.001，抽樣 n=8,000，不良件數 X~B(8000, 0.001)，期望值 μ=np=8。因 n 甚大、p 甚小且 np=8 適中，符合「Poisson 近似二項」條件（通常 p<0.05、np<10），故以 X~Poisson(μ=8) 處理。
  • 二、所求為 P(X<10)=P(X≤9)=Σ(k=0 至 9) e^(−8)·8^k/k!。各項依序約為 0.000335、0.002684、0.010735、0.028626、0.057252、0.091604、0.122138、0.139587、0.139587、0.124077，累加得 0.7166。
  • 三、故不良品少於 10 件的機率約為 0.7166（71.66%）。可再以常態近似 N(8, 7.99) 並作連續校正（9.5）交叉檢核：z=(9.5−8)/2.827=0.531，機率約 0.702，與 Poisson 結果接近，顯示近似合理。

第3題

假設臺灣有15%的成年人有抽菸的習慣。今隨機抽出200 位成年的臺灣 人，試問其中至少有35 位成年人有抽菸習慣的機率為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、令 X 為 200 位成年人中有抽菸習慣的人數，X~B(200, 0.15)，μ=np=30，σ²=np(1−p)=200×0.15×0.85=25.5，σ=5.0498。因 np=30≥5、n(1−p)=170≥5，符合以常態分配近似二項分配的條件。
  • 二、採連續校正：P(X≥35)=P(X≥34.5)≈P(Z≥(34.5−30)/5.0498)=P(Z≥0.891)=1−0.8136=0.1864，即約 18.6%。
  • 三、若未作連續校正，z=(35−30)/5.0498=0.990，機率為 0.1611，兩者相差約 0.025。作答時宜註明是否採連續校正，並以 0.186 為主要答案；另可說明二項精確值與常態近似值之差異隨 n 增大而縮小。

第4題

根據某樣本求得母體平均數μ 的99%信賴區間落在244.051 與255.949 之間。假設母體標準差為σ=12，試問樣本平均數x 及樣本個數n 分別是 多少？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、母體標準差 σ=12 已知，母體平均數 μ 的 99% 信賴區間為 x̄±z(0.005)·σ/√n，其中 z(0.005)=2.576。信賴區間的中心即樣本平均數：x̄=(244.051+255.949)/2=250。
  • 二、誤差界限 E=(255.949−244.051)/2=5.949。由 E=z·σ/√n 反解 n=(zσ/E)²=(2.576×12/5.949)²=(30.912/5.949)²≈(5.196)²≈27.0，故取 n=27。
  • 三、檢核：30.912/√27=30.912/5.196=5.949，區間為 250±5.949=(244.051, 255.949)，與題目完全相符。故樣本平均數 x̄=250、樣本個數 n=27；樣本數須取整且不得小於計算值，若取 26，區間會略寬於題設。

第5題

某大學調查近年來經濟學系和統計學系的大學部畢業生之平均起薪（月 薪）議題，獲得以下數據訊息： 經濟學系 統計學系 樣本數 n1=10 n2=12 樣本平均數（元） 1x =30,000 2x =30,500 樣本標準差（元） s1=230 s2=250 試計算此兩學系畢業生之起薪差異的95%信賴區間，並解釋之。（10 分） 在α=0.05 顯著水準之下，試檢定此兩學系畢業生之起薪的變異數是否 存在顯著差異。（15 分） 在α=0.05 顯著水準之下，試檢定此兩學系畢業生之平均起薪是否存在 顯著差異。（15 分） （以上 、 皆需正確寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、 P-值、檢定結果與結論。） 附表一： 卜瓦松機率表X ~ Poisson（μ） 附表二： 標準常態機率分布表（左尾機率），例如：P(Z≤1.96)=0.975 附表三： t 機率分布表（右尾機率），例如：P(t25>0.856)=0.20 附表四： F 分布臨界值與對應之機率值，P(F(v1,v2)>Fα(v1,v2))=α F0.1(9, 11)=2.274, F0.05(9, 11)=2.896, F0.025(9, 11)=3.588, F0.01(9, 11)=4.632, F0.005(9, 11)=5.537 F0.1(10, 12)=2.188, F0.05(10, 12)=2.753, F0.025(10, 12)=3.374, F0.01(10, 12)=4.296, F0.005(10, 12)=5.085 F0.1(11, 9)=2.396, F0.05(11, 9)=3.103, F0.025(11, 9)=3.912, F0.01(11, 9)=5.178, F0.005(11, 9)=6.314 F0.1(12, 10)=2.284, F0.05(12, 10)=2.913, F0.025(12, 10)=3.621, F0.01(12, 10)=4.706, F0.005(12, 10)=5.661

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、兩母體常態、獨立且變異數未知。因(b)小題未拒絕同變異數，採混合（pooled）變異數：sp²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)=(9×230²+11×250²)/20=(476,100+687,500)/20=58,180，sp=241.21，自由度 df=20。
  • 二、起薪差異的 95% 信賴區間為 (x̄1−x̄2)±t(0.025,20)·sp√(1/n1+1/n2)。標準誤=241.21×√(1/10+1/12)=241.21×0.4282=103.28，t(0.025,20)=2.086，x̄1−x̄2=−500，故區間=−500±2.086×103.28=(−715.4, −284.6)。解釋：有 95% 信心統計學系平均起薪高於經濟學系約 285 至 715 元。
  • 三、變異數檢定：H0: σ1²=σ2²；H1: σ1²≠σ2²；α=0.05。檢定統計量 F=s1²/s2²=230²/250²=0.8464~F(9,11)。拒絕域為 F>F(0.025,9,11)=3.588 或 F<1/F(0.025,11,9)=1/3.912=0.2556。因 0.2556<0.8464<3.588，不拒絕 H0；P-值>0.20（因 1/0.8464=1.1815 遠小於 F(0.1,11,9)=2.396），結論為無證據顯示兩系起薪變異數不同。
  • 四、平均數檢定：H0: μ1=μ2；H1: μ1≠μ2；α=0.05。t=(−500)/103.28=−4.841，df=20，拒絕域 |t|>2.086。因 4.841>2.086，拒絕 H0，P-值<0.001；結論為兩學系畢業生平均起薪存在顯著差異，統計學系較高。
  • 五、補充說明：檢定順序宜先變異數、後平均數；若變異數顯著不等，應改用 Welch's t 檢定（Satterthwaite 近似自由度）。另統計顯著不等於實務重要，500 元差距約占起薪 1.6%，宜併同效果量（Cohen's d=500/241.21≈2.07，屬大效果）與樣本代表性一併討論。