民國113年 地方三等 教育行政 教育測驗與統計
官方試題 PDF
題目
迴歸分析的誤差項須滿足那些假設？並請說明各項假設的檢驗方式。 （25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與基本假設：迴歸模型為 Y=β0+β1X1+…+βkXk+ε，ε 為誤差項。古典假設包括：參數呈線性、誤差期望值為零且與自變數不相關（外生性）、誤差變異數固定（同質變異數）、誤差彼此獨立、誤差常態，以及自變數間無完全共線性。前四項使普通最小平方法（OLS）在 Gauss-Markov 定理下具不偏性與最小變異數。
- 二、線性與零均值：可用殘差對配適值或各自變數的散佈圖檢查，若呈隨機帶狀、無系統性曲線，支持線性；若呈 U 形或漏斗形，可能有非線性或異質變異。亦可使用 RESET 檢定、加入二次項或交互項檢驗。誤差與自變數相關（內生性）可藉理論、遺漏變數檢定、工具變數或 Hausman 檢定輔助判斷。
- 三、同質變異數：指給定自變數下誤差變異數相等。檢驗可看殘差對配適值是否呈均勻帶狀；正式檢定常用 Breusch-Pagan、White、Goldfeld-Quandt 或 Harvey 檢定。若違反，OLS 仍可能不偏但效率下降，且標準誤失真；可使用 White 穩健標準誤、加權最小平方法（WLS）或對依變數作適當轉換。
- 四、獨立性：指誤差之間無相關，時間序列或巢狀資料易違反。時間序列可用 Durbin-Watson 檢定（d 接近 2 表示無一階自相關，小於 2 傾向正相關，大於 2 傾向負相關）、Breusch-Godfrey LM 檢定或殘差自相關圖（ACF／PACF）；橫斷面群聚資料可用集群穩健標準誤、多層次模型或固定效果處理。違反時標準誤低估，推論易高估顯著性。
- 五、常態性與共線性：常態性可用直方圖、Q-Q 圖、Shapiro-Wilk、Anderson-Darling 或 Jarque-Bera 檢定；小樣本較敏感，大樣本依中央極限定理影響較小，必要時可轉換或採自助法（bootstrap）。另以變異數膨脹因子（VIF，一般小於 10 或 5）與條件指數檢查共線性；共線性非誤差項假設，但會膨脹標準誤。檢驗後應依違反型態選擇穩健推論或模型修正。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。