民國110年 地方三等 統計 統計學
第1題
令ܺ, ܻ的聯合機率密度函數（Joint probability density function ）為 ݂(ݔ, ݕ) = ܿݕ݁ି௫మ/ଶ, 0 < ݕଶ<…
題目
令ܺ, ܻ的聯合機率密度函數（Joint probability density function ）為 ݂(ݔ, ݕ) = ܿݕ݁ି௫మ/ଶ, 0 < ݕଶ< ݔ< ∞。求ܿ使得݂(ݔ, ݕ)符合聯合機率密度 函數的要求；並求ܺ, ܻ的邊際機率密度函數（Marginal probability density function），݂(ݔ)、݂(ݕ)、以及ܧ(ܺ)、ܸܽݎ(ܺ)。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、先確認積分區域與常數 c。題面 0<y²<x<∞ 等價於 x>0、|y|<√x；但因 f(x,y)=c y e^(-x²/2) 含 y，為使密度非負，題意應取 y>0，即 0<y<√x。若容許 y<0，f 會變號，不存在符合要求的 c。取 y>0 後歸一化：1=∫_0^∞∫_0^√x c y e^(-x²/2) dy dx=(c/2)∫_0^∞ x e^(-x²/2)dx=c/2，故 c=2。
- 二、X 的邊際密度：f_X(x)=∫_0^√x 2y e^(-x²/2)dy=x e^(-x²/2)，x>0；此為尺度參數 σ=1 的 Rayleigh 分配。
- 三、Y 的邊際密度：固定 y>0 時 x>y²，故 f_Y(y)=∫_{y²}^∞ 2y e^(-x²/2)dx=2y∫_{y²}^∞ e^(-x²/2)dx=2√(2π)y[1-Φ(y²)]，y>0，Φ 為標準常態累積分布函數。
- 四、E(X)=∫_0^∞ x² e^(-x²/2)dx=√(2π)/2=√(π/2)。又 E(X²)=∫_0^∞ x³ e^(-x²/2)dx=2，故 Var(X)=2-π/2。
- 五、若原題區域實為 0<y<x<∞（y² 為誤植），則 c=2√(2/π)、f_X(x)=√(2/π)x²e^(-x²/2)、f_Y(y)=4y[1-Φ(y)]、E(X)=2√(2/π)、Var(X)=3-8/π；作答時宜註明所採區域版本。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。