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民國110年 地方三等 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
令ܺ, ܻ的聯合機率密度函數（Joint probability density function ）為
݂(ݔ, ݕ) = ܿݕ݁ି௫మ/ଶ, 0 < ݕଶ< ݔ< ∞。求ܿ使得݂(ݔ, ݕ)符合聯合機率密度
函數的要求；並求ܺ, ܻ的邊際機率密度函數（Marginal probability density
function），݂(ݔ)、݂(ݕ)、以及ܧ(ܺ)、ܸܽݎ(ܺ)。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、先確認積分區域與常數 c。題面 0<y²<x<∞ 等價於 x>0、|y|<√x；但因 f(x,y)=c y e^(-x²/2) 含 y，為使密度非負，題意應取 y>0，即 0<y<√x。若容許 y<0，f 會變號，不存在符合要求的 c。取 y>0 後歸一化：1=∫_0^∞∫_0^√x c y e^(-x²/2) dy dx=(c/2)∫_0^∞ x e^(-x²/2)dx=c/2，故 c=2。 二、X 的邊際密度：f_X(x)=∫_0^√x 2y e^(-x²/2)dy=x e^(-x²/2)，x>0；此為尺度參數 σ=1 的 Rayleigh 分配。 三、Y 的邊際密度：固定 y>0 時 x>y²，故 f_Y(y)=∫_{y²}^∞ 2y e^(-x²/2)dx=2y∫_{y²}^∞ e^(-x²/2)dx=2√(2π)y[1-Φ(y²)]，y>0，Φ 為標準常態累積分布函數。 四、E(X)=∫_0^∞ x² e^(-x²/2)dx=√(2π)/2=√(π/2)。又 E(X²)=∫_0^∞ x³ e^(-x²/2)dx=2，故 Var(X)=2-π/2。 五、若原題區域實為 0<y<x<∞（y² 為誤植），則 c=2√(2/π)、f_X(x)=√(2/π)x²e^(-x²/2)、f_Y(y)=4y[1-Φ(y)]、E(X)=2√(2/π)、Var(X)=3-8/π；作答時宜註明所採區域版本。
令ܺ, ݅= 1,2, … , ݊為幾何分配ܩ݁()的隨機樣本，請證明以動差法及
最大概似估計法求得之的估計式是相同的。請定義充分統計量，並回答
該估計式是否為的充分統計量？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、採成功所需試驗次數的參數化：X~Geo(p)，P(X=x)=p(1-p)^(x-1)，x=1,2,...，E(X)=1/p。給定樣本 x_1,...,x_n，對數概似函數為 ℓ(p)=n ln p+(Σx_i-n)ln(1-p)。 二、動差法：令樣本一階動差 X̄=E(X)=1/p，解得 p 的動差估計式 p̂_MOM=1/X̄=n/ΣX_i。 三、最大概似法：∂ℓ/∂p=n/p-(Σx_i-n)/(1-p)=0，化簡得 n(1-p)=p(Σx_i-n)，即 Σx_i=n/p，故 p̂_MLE=n/ΣX_i=1/X̄，與動差法相同。 四、充分統計量的定義：若樣本聯合密度可寫成 f(x;p)=g(T(x),p)h(x)，則 T(X) 為 p 的充分統計量。此處聯合密度為 p^n(1-p)^(Σx_i-n)，取 T=ΣX_i、g=p^n(1-p)^(T-n)、h=1，故 T 充分。 五、p̂=n/T 是 T 的一對一函數（T>0），充分統計量的函數仍為充分統計量，故 p̂ 亦為 p 的充分統計量；T 亦為最小充分完備統計量。若採失敗次數參數化 P(X=x)=p(1-p)^x，x=0,1,...，則 p̂=1/(1+X̄)，結論不變。
假設ܺ為二項分配ܤ݅݊(5, )的一個隨機樣本，欲根據此隨機樣本檢定
ܪ: = 0.2 vs. ܪଵ: = 0.8。在α =
ଵ
ଵଶ的顯著水準下，求最強力檢定
（most powerful test）的棄卻域G，以及真正的型一錯誤率ܲ(ܺ∈ܴ|ܪ)，
並求G 的檢定力（power）。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、X~Bin(5,p)，H0:p=0.2 vs H1:p=0.8。由 Neyman-Pearson 引理，最強力檢定依概似比 Λ(x)=L(0.8)/L(0.2)=4^(2x-5) 拒絕 H0；Λ 隨 x 遞增，故棄卻域呈 X≥k 的形式。 二、在 H0 下各點機率為：P(X=5)=1/3125、P(X=4)=20/3125、P(X=3)=160/3125、P(X=2)=640/3125、P(X=1)=1280/3125、P(X=0)=1024/3125。 三、α=1/120≈0.008333。P(X≥4)=21/3125≈0.00672≤α，而 P(X≥3)=181/3125≈0.05792>α，故非隨機化之最強力檢定取 G={4,5}；真正型一錯誤率 α*=P(X∈G|H0)=21/3125≈0.00672。 四、檢定力 Power=P(X∈G|H1)=P(X=4|p=0.8)+P(X=5|p=0.8)=1280/3125+1024/3125=2304/3125≈0.73728。 五、若要求大小恰為 1/120，須隨機化：X=5、4 必拒絕，X=3 以 γ=(1/120-21/3125)/(160/3125)≈0.0315 的機率拒絕，此時 power≈0.73728+0.0315×0.2048≈0.7437；一般未特別要求隨機化時，採 G={4,5} 並報告實際 α*。
隨機樣本ܺ~ܰ( ߠ, ߪଶ), ݅= 1, 2, 3, 4, ݆= 1,2, … , 10。樣本觀察值的敘述
性統計如下表：
在α = 5%的顯著水準下，請完成下列假說檢定。
ܪ: ߠ= ߠ݂ݎ݈݈ܽ݅vs. ܪଵ: ߠ≠ߠ݂ݎݏ݉݁݅。（20 分）
ܪ: ߠଶ−ߠଷ+ ߠସ= 0 vs. ܪଵ: ߠଶ−ߠଷ+ ߠସ≠0。（10 分）
i
平均數
標準差
2.75
2.21
2.62
2.54
Ｆ分配臨界值表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模式為單因子固定效果：X_ij=θ_i+ε_ij，ε_ij~N(0,σ²)，i=1,...,4，j=1,...,10，n_i=10，N=40。檢定 H0:θ1=θ2=θ3=θ4 vs H1:不全相等，採單因子變異數分析。 二、若表中 2.75、2.21、2.62、2.54 為各組樣本平均數，則總平均 X̄..=2.53，SSTR=10Σ(X̄_i-X̄..)²=10[(0.22)²+(-0.32)²+(0.09)²+(0.01)²]=1.59，df=3，MSTR=0.53。SSE=Σ(n_i-1)s_i²=9Σs_i²，df=36，MSE=SSE/36，F=MSTR/MSE。 三、α=5% 時拒絕 H0 若 F>F_{0.05,3,36}≈2.866；等價地 MSE<0.53/2.866≈0.185 時拒絕。題面未提供各組標準差或 SSE，故無法算出 F 與唯一結論；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若表中四個數其實是標準差，則平均數未給，SSTR 亦無法求得。 四、對比 L=θ2-θ3+θ4，估計 L̂=X̄2-X̄3+X̄4=2.21-2.62+2.54=2.13。Var(L̂)=σ²(1/10+1/10+1/10)=0.3σ²，以 MSE 估計 σ²，t=2.13/√(0.3MSE)，df=36；拒絕 H0 若 |t|>t_{0.025,36}≈2.028。 五、其 95% 信賴區間為 2.13±2.028√(0.3MSE)。因 MSE 未給，無法判定顯著性；若取得 MSE 可直接代入。另應確認常態性與變異數同質性假定，且對比檢定宜在 ANOVA 誤差均方下進行。