民國110年 地方三等 統計 統計學
第2題
令ܺ, ݅= 1,2, … , ݊為幾何分配ܩ݁()的隨機樣本，請證明以動差法及 最大概似估計法求得之的估計式是相同的。請定義充分統計量，並回答 該估計…
題目
令ܺ, ݅= 1,2, … , ݊為幾何分配ܩ݁()的隨機樣本，請證明以動差法及 最大概似估計法求得之的估計式是相同的。請定義充分統計量，並回答 該估計式是否為的充分統計量？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、採成功所需試驗次數的參數化：X~Geo(p)，P(X=x)=p(1-p)^(x-1)，x=1,2,...，E(X)=1/p。給定樣本 x_1,...,x_n，對數概似函數為 ℓ(p)=n ln p+(Σx_i-n)ln(1-p)。
- 二、動差法：令樣本一階動差 X̄=E(X)=1/p，解得 p 的動差估計式 p̂_MOM=1/X̄=n/ΣX_i。
- 三、最大概似法：∂ℓ/∂p=n/p-(Σx_i-n)/(1-p)=0，化簡得 n(1-p)=p(Σx_i-n)，即 Σx_i=n/p，故 p̂_MLE=n/ΣX_i=1/X̄，與動差法相同。
- 四、充分統計量的定義：若樣本聯合密度可寫成 f(x;p)=g(T(x),p)h(x)，則 T(X) 為 p 的充分統計量。此處聯合密度為 p^n(1-p)^(Σx_i-n)，取 T=ΣX_i、g=p^n(1-p)^(T-n)、h=1，故 T 充分。
- 五、p̂=n/T 是 T 的一對一函數（T>0），充分統計量的函數仍為充分統計量，故 p̂ 亦為 p 的充分統計量；T 亦為最小充分完備統計量。若採失敗次數參數化 P(X=x)=p(1-p)^x，x=0,1,...，則 p̂=1/(1+X̄)，結論不變。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。