民國110年 地方三等 統計 統計學
第4題
隨機樣本ܺ~ܰ( ߠ, ߪଶ), ݅= 1, 2, 3, 4, ݆= 1,2, … , 10。樣本觀察值的敘述 性統計如下表： 在α = 5%的顯著水準下…
題目
隨機樣本ܺ~ܰ( ߠ, ߪଶ), ݅= 1, 2, 3, 4, ݆= 1,2, … , 10。樣本觀察值的敘述 性統計如下表： 在α = 5%的顯著水準下，請完成下列假說檢定。 ܪ: ߠ= ߠ݂ݎ݈݈ܽ݅vs. ܪଵ: ߠ≠ߠ݂ݎݏ݉݁݅。（20 分） ܪ: ߠଶ−ߠଷ+ ߠସ= 0 vs. ܪଵ: ߠଶ−ߠଷ+ ߠସ≠0。（10 分） i 平均數 標準差 2.75 2.21 2.62 2.54 Ｆ分配臨界值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模式為單因子固定效果：X_ij=θ_i+ε_ij，ε_ij~N(0,σ²)，i=1,...,4，j=1,...,10，n_i=10，N=40。檢定 H0:θ1=θ2=θ3=θ4 vs H1:不全相等，採單因子變異數分析。
- 二、若表中 2.75、2.21、2.62、2.54 為各組樣本平均數，則總平均 X̄..=2.53，SSTR=10Σ(X̄_i-X̄..)²=10[(0.22)²+(-0.32)²+(0.09)²+(0.01)²]=1.59，df=3，MSTR=0.53。SSE=Σ(n_i-1)s_i²=9Σs_i²，df=36，MSE=SSE/36，F=MSTR/MSE。
- 三、α=5% 時拒絕 H0 若 F>F_{0.05,3,36}≈2.866；等價地 MSE<0.53/2.866≈0.185 時拒絕。題面未提供各組標準差或 SSE，故無法算出 F 與唯一結論；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若表中四個數其實是標準差，則平均數未給，SSTR 亦無法求得。
- 四、對比 L=θ2-θ3+θ4，估計 L̂=X̄2-X̄3+X̄4=2.21-2.62+2.54=2.13。Var(L̂)=σ²(1/10+1/10+1/10)=0.3σ²，以 MSE 估計 σ²，t=2.13/√(0.3MSE)，df=36；拒絕 H0 若 |t|>t_{0.025,36}≈2.028。
- 五、其 95% 信賴區間為 2.13±2.028√(0.3MSE)。因 MSE 未給，無法判定顯著性；若取得 MSE 可直接代入。另應確認常態性與變異數同質性假定，且對比檢定宜在 ANOVA 誤差均方下進行。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。