民國110年 地方三等 統計 統計學
第3題
假設ܺ為二項分配ܤ݅݊(5, )的一個隨機樣本，欲根據此隨機樣本檢定 ܪ: = 0.2 vs. ܪଵ: = 0.8。在α = ଵ ଵଶ的顯著水準下，求…
題目
假設ܺ為二項分配ܤ݅݊(5, )的一個隨機樣本，欲根據此隨機樣本檢定 ܪ: = 0.2 vs. ܪଵ: = 0.8。在α = ଵ ଵଶ的顯著水準下，求最強力檢定 （most powerful test）的棄卻域G，以及真正的型一錯誤率ܲ(ܺ∈ܴ|ܪ)， 並求G 的檢定力（power）。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、X~Bin(5,p)，H0:p=0.2 vs H1:p=0.8。由 Neyman-Pearson 引理，最強力檢定依概似比 Λ(x)=L(0.8)/L(0.2)=4^(2x-5) 拒絕 H0；Λ 隨 x 遞增，故棄卻域呈 X≥k 的形式。
- 二、在 H0 下各點機率為：P(X=5)=1/3125、P(X=4)=20/3125、P(X=3)=160/3125、P(X=2)=640/3125、P(X=1)=1280/3125、P(X=0)=1024/3125。
- 三、α=1/120≈0.008333。P(X≥4)=21/3125≈0.00672≤α，而 P(X≥3)=181/3125≈0.05792>α，故非隨機化之最強力檢定取 G={4,5}；真正型一錯誤率 α*=P(X∈G|H0)=21/3125≈0.00672。
- 四、檢定力 Power=P(X∈G|H1)=P(X=4|p=0.8)+P(X=5|p=0.8)=1280/3125+1024/3125=2304/3125≈0.73728。
- 五、若要求大小恰為 1/120，須隨機化：X=5、4 必拒絕，X=3 以 γ=(1/120-21/3125)/(160/3125)≈0.0315 的機率拒絕，此時 power≈0.73728+0.0315×0.2048≈0.7437；一般未特別要求隨機化時，採 G={4,5} 並報告實際 α*。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。