下表為1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。 月份 一至 三月四月五月六月七月 八月 九月十月十一月十二月 侵臺颱風次數 請估計每年侵臺颱風之平均次數。…

題目

下表為1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。 月份 一至 三月四月五月六月七月 八月 九月十月十一月十二月 侵臺颱風次數 請估計每年侵臺颱風之平均次數。（5 分） 若每年侵臺颱風次數服從卜瓦松（Poisson）分配，依此資料之估計結 果，計算一年內侵臺颱風超過兩次（含）以上的機率。（10 分） 若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且p 代表八月發生侵 臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為0.05 下，檢定八 月發生侵臺颱風之比例是否超過1/4。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、資料結構與平均次數估計：令 X_i 為第 i 年侵臺颱風次數，i=1,…,118（1897–2014 共 118 年），總次數 T=ΣX_i。在 Poisson 分配假設下，母體平均數 λ 的最大概似估計（MLE）與動差估計皆為 λ̂=T/118，即「總次數÷年數」。題面各月次數的數字缺漏，無法得出唯一數值；考生須先將表中各月次數加總得 T，再除以 118 得每年平均次數。
• 二、卜瓦松機率計算：若 X~Poisson(λ)，則 P(X=k)=e^(−λ)λ^k/k!。所求為「超過兩次（含）以上」，即 P(X≥2)=1−P(0)−P(1)=1−e^(−λ̂)(1+λ̂)。計算步驟為：以第一小題之 λ̂ 代入，取 e^(−λ̂)，乘上 (1+λ̂)，再以 1 相減。因 λ̂ 須由實際表格求得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；但可知 λ̂ 越大，P(X≥2) 越接近 1。
• 三、八月比例之單尾檢定：令 p 為八月侵臺次數占總次數之比例，p̂=八月次數/T，樣本數 n=T（以「每次颱風」為觀測單位）。檢定 H0：p≤1/4 對 H1：p>1/4，顯著水準 α=0.05。採二項分配之常態近似，檢定統計量 z=(p̂−0.25)/√(0.25×0.75/n)，拒絕域為 z>z_0.05=1.645；適用前提為 np0=0.25T≥5 且 n(1−p0)≥5。
• 四、判定規則與結論寫法：若 z>1.645，則拒絕 H0，在 5% 顯著水準下可宣稱八月發生侵臺颱風之比例超過 1/4；若 z≤1.645，則不拒絕 H0，資料不足以支持該主張（不可寫成「證明等於 1/4」）。因 T 與八月次數在題面缺漏，無法算出 z 值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
• 五、方法限制與提醒：以 118 年資料視為同一 Poisson 母體，隱含颱風發生率長期穩定之假設；若氣候變遷或觀測技術改變使 λ 隨時間變動，估計與檢定僅具描述性意義。又月份比例之抽樣單位為「單次颱風」而非「單一年份」，答題時宜說明獨立性與同質性假設，以免過度推論。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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