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民國111年 地方三等 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
下表為1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。
月份
一至
三月四月五月六月七月
八月
九月十月十一月十二月
侵臺颱風次數
請估計每年侵臺颱風之平均次數。（5 分）
若每年侵臺颱風次數服從卜瓦松（Poisson）分配，依此資料之估計結
果，計算一年內侵臺颱風超過兩次（含）以上的機率。（10 分）
若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且p 代表八月發生侵
臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為0.05 下，檢定八
月發生侵臺颱風之比例是否超過1/4。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料結構與平均次數估計：令 X_i 為第 i 年侵臺颱風次數，i=1,…,118（1897–2014 共 118 年），總次數 T=ΣX_i。在 Poisson 分配假設下，母體平均數 λ 的最大概似估計（MLE）與動差估計皆為 λ̂=T/118，即「總次數÷年數」。題面各月次數的數字缺漏，無法得出唯一數值；考生須先將表中各月次數加總得 T，再除以 118 得每年平均次數。 二、卜瓦松機率計算：若 X~Poisson(λ)，則 P(X=k)=e^(−λ)λ^k/k!。所求為「超過兩次（含）以上」，即 P(X≥2)=1−P(0)−P(1)=1−e^(−λ̂)(1+λ̂)。計算步驟為：以第一小題之 λ̂ 代入，取 e^(−λ̂)，乘上 (1+λ̂)，再以 1 相減。因 λ̂ 須由實際表格求得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；但可知 λ̂ 越大，P(X≥2) 越接近 1。 三、八月比例之單尾檢定：令 p 為八月侵臺次數占總次數之比例，p̂=八月次數/T，樣本數 n=T（以「每次颱風」為觀測單位）。檢定 H0：p≤1/4 對 H1：p>1/4，顯著水準 α=0.05。採二項分配之常態近似，檢定統計量 z=(p̂−0.25)/√(0.25×0.75/n)，拒絕域為 z>z_0.05=1.645；適用前提為 np0=0.25T≥5 且 n(1−p0)≥5。 四、判定規則與結論寫法：若 z>1.645，則拒絕 H0，在 5% 顯著水準下可宣稱八月發生侵臺颱風之比例超過 1/4；若 z≤1.645，則不拒絕 H0，資料不足以支持該主張（不可寫成「證明等於 1/4」）。因 T 與八月次數在題面缺漏，無法算出 z 值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。 五、方法限制與提醒：以 118 年資料視為同一 Poisson 母體，隱含颱風發生率長期穩定之假設；若氣候變遷或觀測技術改變使 λ 隨時間變動，估計與檢定僅具描述性意義。又月份比例之抽樣單位為「單次颱風」而非「單一年份」，答題時宜說明獨立性與同質性假設，以免過度推論。
若隨機變數X 與Y 的聯合機率分配如下：
X
Y
0.10
0.20
0.20
0.20
0.20
0.10
計算在X=8 的條件下，隨機變數Y 的邊際分配、期望值與標準差。
（15 分）
詳細說明X 與Y 是否為獨立隨機變數。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、條件分配之求法：由聯合機率函數 f(x,y) 求 X=8 之邊際機率 f_X(8)=Σ_y f(8,y)（即表中 X=8 該列之和），則在 X=8 下 Y 的條件機率為 f_{Y|X=8}(y)=f(8,y)/f_X(8)。此條件分配必滿足 Σ_y f_{Y|X=8}(y)=1，即題目所稱「在 X=8 條件下 Y 的邊際分配」。 二、期望值與標準差公式：E(Y|X=8)=Σ_y y·f_{Y|X=8}(y)；E(Y²|X=8)=Σ_y y²·f_{Y|X=8}(y)；Var(Y|X=8)=E(Y²|X=8)−[E(Y|X=8)]²，標準差為其正平方根。計算時先以條件機率加權求一階動差，再求二階動差，相減後開根號，切忌誤用 Y 的邊際分配計算。 三、依題面數字之還原計算（假設排列）：六個機率和為 1.00（0.10、0.20、0.20、0.20、0.20、0.10），若排列為 X=4 列（0.10,0.20,0.20）、X=8 列（0.20,0.20,0.10），則 f_X(8)=0.50，條件機率為 0.4、0.4、0.2；E(Y|X=8)=1.8，E(Y²)=3.8，Var=0.56，標準差≈0.748。惟原表欄列標籤在題面缺漏，實際數值須依原卷表格重算。 四、獨立性之判定：X 與 Y 獨立若且唯若對所有 (x,y) 皆有 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，等價於條件分配 f_{Y|X}(y) 不隨 x 改變。以還原表為例，f_X(4)=f_X(8)=0.5，f_Y=(0.3,0.4,0.3)，而 0.5×0.3=0.15≠f(4,1)=0.10，故 X 與 Y 不獨立。 五、答題要點與限制：只需找到一組「邊際乘積≠聯合機率」即可否證獨立，並以「條件分配≠邊際分配」佐證。不可僅因期望值相等或相關係數為 0 就宣稱獨立（不相關不等於獨立）。獨立性為母體結構性質，若以樣本判斷宜輔以卡方獨立性檢定並註明虛無假設。
若隨機變數Y 為具有參數n 與p 的二項分配，定義
1ˆ
/
p
Y
n
及
2ˆ
(
1) / (
2)
p
Y
n
為p 的兩個估計量。
分別證明
1ˆp 與
2ˆp 是否為p 的不偏估計量。（10 分）
詳細推導
1ˆp 與
2ˆp 的均方誤差（mean squares error, MSE）。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、基本性質：設 Y~Bin(n,p)，則 E(Y)=np、Var(Y)=np(1−p)。p̂1=Y/n 為樣本比例，即成功次數除以試驗次數；p̂2=(Y+1)/(n+2) 為分子分母各加 1 與 2 之調整估計量（收縮估計，shrinkage estimator），其作用在避免估計值落在 0 或 1 之邊界。 二、不偏性之證明：E(p̂1)=E(Y)/n=np/n=p，故 p̂1 為 p 之不偏估計量（unbiased estimator）。E(p̂2)=(np+1)/(n+2)=p+(1−2p)/(n+2)，除 p=1/2 外不等於 p，故 p̂2 為有偏估計量，偏誤 Bias=(1−2p)/(n+2)；p<1/2 時高估，p>1/2 時低估，n 越大偏誤越小。 三、p̂1 之 MSE：MSE(p̂1)=Var(p̂1)+[Bias(p̂1)]²=np(1−p)/n²+0=p(1−p)/n。此即二項比例變異數除以 n，隨 n 增大而趨近 0；因不偏，其 MSE 等於變異數，可直接由 Var(Y/n)=Var(Y)/n² 求得。 四、p̂2 之 MSE：先以 Var(aY+b)=a²Var(Y) 得 Var(p̂2)=np(1−p)/(n+2)²，再與偏誤平方相加，得 MSE(p̂2)=[np(1−p)+(1−2p)²]/(n+2)²。推導時務必保留偏誤項，不可只寫變異數，否則即失去比較兩估計量之基礎。 五、比較與建議：MSE 為變異數與偏誤平方之和，p̂1 不偏但變異較大，p̂2 有偏但變異較小。當 p 接近 0 或 1（p(1−p) 小）時 MSE(p̂2) 通常小於 MSE(p̂1)；p 接近 1/2 且 n 大時則以 p̂1 較優。此即偏差—變異數權衡（bias-variance tradeoff），答題宜寫出比較條件而非斷言何者恆優。
若考慮一項二因子之實驗設計，因子A 有3 個水準，因子B 有4 個水
準，每個處理皆有3 個重複觀測值。得到以下變異數分析表（ANOVA）：
Sum of
squares
Degrees of
freedom
Mean
squares
F
Treatment A
54.4
（B）
（G）
（K）
Treatment B
27.6
（C）
（H）
（L）
Interaction AB
115.4
（D）
（I）
（M）
Error
（A）
（E）
（J）
Total
299.5
（F）
寫出（A）至（M）的值，詳述其所需之公式與計算過程。（13 分）
詳述（L）與（M）之檢定統計的虛無假設與對立假設；並在顯著水準
為0.05 下，說明各自檢定之結論。（12 分）
t分配表
tα
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模式與自由度：二因子固定效果模式 y_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+ε_ijk，a=3、b=4、r=3，總觀測數 abr=36。自由度為 df_A=a−1=2（B）、df_B=b−1=3（C）、df_AB=(a−1)(b−1)=6（D）、df_E=ab(r−1)=3×4×2=24（E）、df_T=abr−1=35（F），且 2+3+6+24=35 可作為核對。 二、平方和與均方：總平方和分解 SST=SSA+SSB+SSAB+SSE，故 SSE=299.5−54.4−27.6−115.4=102.1（A）。均方為平方和除以自由度：(G)=54.4/2=27.2、(H)=27.6/3=9.2、(I)=115.4/6≈19.233、(J)=102.1/24≈4.2542，均方即後續 F 檢定之分子與分母。 三、F 值計算：(K)=MSA/MSE=27.2/4.2542≈6.39；(L)=MSB/MSE=9.2/4.2542≈2.16；(M)=MSAB/MSE=19.233/4.2542≈4.52。F 檢定均以誤差均方 MSE 為分母，自由度為 (df_效果, 24)；α=0.05 之臨界值約為 F_0.05(2,24)=3.40、F_0.05(3,24)=3.01、F_0.05(6,24)=2.51。 四、B 因子之假設與結論：H0：β_1=β_2=β_3=β_4（B 各水準平均數無差異）對 H1：不全相等。因 (L)=2.16<3.01，不拒絕 H0，在 5% 顯著水準下無足夠證據顯示 B 之主效應顯著。對照因子 A，(K)=6.39>3.40，拒絕 H0，A 之主效應顯著。 五、交互作用之假設與結論及限制：H0：(αβ)_ij=0 對所有 i,j（無交互作用）對 H1：存在交互作用。因 (M)=4.52>2.51，拒絕 H0，AB 交互作用顯著，宜進一步做單純主效應分析與多重比較（如 Tukey 法），不宜逕以主效應平均數下結論；並應檢查常態性與變異數同質性假設。