民國111年 地方三等 統計 統計學
第2題
若隨機變數X 與Y 的聯合機率分配如下： X Y 0.10 0.20 0.20 0.20 0.20 0.10 計算在X=8 的條件下，隨機變數Y 的邊際分配、期…
題目
若隨機變數X 與Y 的聯合機率分配如下： X Y 0.10 0.20 0.20 0.20 0.20 0.10 計算在X=8 的條件下，隨機變數Y 的邊際分配、期望值與標準差。 （15 分） 詳細說明X 與Y 是否為獨立隨機變數。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、條件分配之求法：由聯合機率函數 f(x,y) 求 X=8 之邊際機率 f_X(8)=Σ_y f(8,y)（即表中 X=8 該列之和），則在 X=8 下 Y 的條件機率為 f_{Y|X=8}(y)=f(8,y)/f_X(8)。此條件分配必滿足 Σ_y f_{Y|X=8}(y)=1，即題目所稱「在 X=8 條件下 Y 的邊際分配」。
- 二、期望值與標準差公式：E(Y|X=8)=Σ_y y·f_{Y|X=8}(y)；E(Y²|X=8)=Σ_y y²·f_{Y|X=8}(y)；Var(Y|X=8)=E(Y²|X=8)−[E(Y|X=8)]²，標準差為其正平方根。計算時先以條件機率加權求一階動差，再求二階動差，相減後開根號，切忌誤用 Y 的邊際分配計算。
- 三、依題面數字之還原計算（假設排列）：六個機率和為 1.00（0.10、0.20、0.20、0.20、0.20、0.10），若排列為 X=4 列（0.10,0.20,0.20）、X=8 列（0.20,0.20,0.10），則 f_X(8)=0.50，條件機率為 0.4、0.4、0.2；E(Y|X=8)=1.8，E(Y²)=3.8，Var=0.56，標準差≈0.748。惟原表欄列標籤在題面缺漏，實際數值須依原卷表格重算。
- 四、獨立性之判定：X 與 Y 獨立若且唯若對所有 (x,y) 皆有 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，等價於條件分配 f_{Y|X}(y) 不隨 x 改變。以還原表為例，f_X(4)=f_X(8)=0.5，f_Y=(0.3,0.4,0.3)，而 0.5×0.3=0.15≠f(4,1)=0.10，故 X 與 Y 不獨立。
- 五、答題要點與限制：只需找到一組「邊際乘積≠聯合機率」即可否證獨立，並以「條件分配≠邊際分配」佐證。不可僅因期望值相等或相關係數為 0 就宣稱獨立（不相關不等於獨立）。獨立性為母體結構性質，若以樣本判斷宜輔以卡方獨立性檢定並註明虛無假設。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。