設 X 、 X 、 X 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 ( ) / Y X X

題目

設 X 、 X 、 X 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 ( ) / Y X X ， ( ) / Y X X X 與 ( ) / Y X X X 。試求： 1Y 、 2Y 、 3Y 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機 率密度函數。（15 分） 求 1Y 、 2Y 和 3Y 之聯合分配函數。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、定義與基本結果：設 X1、X2、X3 為相互獨立且服從標準常態 N(0,1) 之隨機變數。若 Y 為兩個獨立標準常態變數之商（例如 Y=X1/X2），則 Y 服從標準柯西分布（standard Cauchy distribution），其機率密度函數為 f(y)=1/[π(1+y²)]，−∞<y<∞。此結果為判斷三題小題「是否具有相同機率密度函數」之基準。
• 二、邊際密度之推導：以 Y=X1/X2 為例，作變換 y=x1/x2、z=x2，Jacobian 為 |z|，故 f(y,z)=(|z|/2π)exp[−(y²+1)z²/2]。對 z 由 −∞ 至 ∞ 積分，得 f_Y(y)=1/[π(1+y²)]。因此凡「兩個獨立標準常態之商」形式者，其邊際密度皆相同，均為標準柯西分布；但邊際相同不代表聯合獨立。
• 三、聯合分配之求法：三維變換 (Y1,Y2,Y3)=T(X1,X2,X3)，聯合密度為 f_Y(y)=f_X(T⁻¹y)|J|，其中 J 為 Jacobian 行列式，並須同時寫出各 yi 之支撐範圍。若 T 可逆，即可得完整聯合密度；若 T 不可逆，表示三變數間存在函數關係，聯合分配退化於低維流形，此時須改以維度較低之變換處理。
• 四、常見陷阱：若三式為 Y1=X1/X2、Y2=X2/X3、Y3=X3/X1，則乘積恆等於 1，三維聯合密度不存在（奇異分配），僅能以二維密度配合限制式 y3=1/(y1y2) 描述；若為 Y1=X1/X2、Y2=X1/X3、Y3=X2/X3，同樣存在函數相依。故「邊際同為柯西」與「聯合獨立」不可混為一談。
• 五、作答提醒與資料限制：可確定者為「若三式均為兩獨立標準常態之商，則三者邊際密度相同（皆標準柯西）」；惟題幹中各 Y 之分子、分母下標於試卷上遭截斷，無法辨識確切定義式，聯合分配因而無法得出唯一數值。考生應先明確寫出所採用之定義假設，再依上述變換法推導，並註明支撐範圍與相依性。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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